Miksi $|f(x)| = a$ jaetaan kahteen tapaukseen?

Koska itseisarvo tarkoittaa etäisyyttä nollasta: lauseke voi olla joko $a$ tai $-a$ (kun $a \ge 0$), jotta etäisyys olisi $a$.

Itseisarvoyhtälöt

Itseisarvo kuvaa luvun etäisyyttä nollasta. Itseisarvoyhtälöt ratkaistaan jakamalla ne tapauksiin tai käyttämällä neliöintiä. Nämä yhtälöt ovat keskeisiä etäisyyksiin liittyvissä geometrisissa ongelmissa.

Määritelmä

Kaavat

Yhtälö muotoa |f(x)| = a

Kun , itseisarvo on täsmälleen kun lauseke on joko tai . Sovellus: etäisyysongelmat ja välin ratkaisut.

: Ei-negatiivinen luku ($a \ge 0$)
: Lauseke, jonka itseisarvo tarkastellaan

Kaksi itseisarvoa yhtä suuria

Kahden itseisarvon yhtäsuuruus tarkoittaa, että lausekkeet ovat joko samat tai vastalukuja. Käytä tätä kun molemmilla puolilla on itseisarvo.

: Lausekkeet (esim. polynomit)

Itseisarvon neliö

Itseisarvon neliöinti poistaa itseisarvomerkin. Hyödyllinen kun haluat ratkaista yhtälön neliöimällä (tarkista aina alkuperäiseen).

: Reaaliluku

Säännöt

Neliöinti

Kun molemmat puolet ovat ei-negatiivisia (itseisarvoja), yhtälö voidaan neliöidä turvallisesti. Huom: neliöinnin jälkeen tarkista ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön (vieraat juuret).

Etäisyyslukuna

tarkoittaa: etäisyys luvusta on

Lukuakselilla on pisteen etäisyys pisteestä . Yhtälöllä on ratkaisu kun . Sovellus: välimatkat ja toleranssit.

Esimerkit

Perusmuotoinen itseisarvoyhtälö

Helppo

Ratkaise yhtälö .

2x - 5 = 7 2x - 5 = -7
Poistetaan itseisarvomerkit jakamalla kahteen tapaukseen.
2x = 12 2x = -2
Siirretään vakiot.
x = 6 x = -1
Jaetaan kertoimella.

Kahden itseisarvon yhtälö

Keskitaso

Ratkaise yhtälö .

x^2 - 1 = x - 1 x^2 - 1 = -(x - 1)
Käytetään sääntöä .
x^2 - x = 0 x^2 - 1 = -x + 1
Sievennetään molemmat haarat.
x(x - 1) = 0 x^2 + x - 2 = 0
Ratkaistaan yhtälöt.
x = 0 x = 1
Ensimmäisestä haarasta.
x = =
Toisesta haarasta ratkaisukaavalla.
x = 1 x = -2
Toisen haaran ratkaisut.
Vastaus: x = -2, \; x = 0, \; x = 1
Kootaan kaikki ratkaisut (x=1 toistui).

Sovellus: etäisyys lukusuoralla

Helppo

Määritä ne reaaliluvut , joiden etäisyys luvusta on korkeintaan .

Etäisyys luvusta
Ilmaistaan ehto: , eli .
Kaksiosainen epäyhtälö
.
Vähennetään 2
. Vastaus: .

Sovellukset

Etäisyys- ja toleranssiongelmat: esim. kuvaa lukua , joka on korkeintaan 0,5:n päässä luvusta 3.
Geometria: tason pisteiden etäisyys suorasta tai keskipisteestä johtaa itseisarvoihin.
Fysiikka: poikkeama tasapainoasemasta tai ero mittauksessa ilmaistaan usein itseisarvona.

Yleisiä virheitä

Itseisarvo ei voi koskaan olla negatiivinen luku.

Oikein: Ei ratkaisua; yhtälöllä on ratkaisuja vain kun .

Tämä pätee vain, jos ja ovat samanmerkkiset. Yleisesti pätee kolmioepäyhtälö.

Oikein:

Usein kysyttyä

Miksi jaetaan kahteen tapaukseen?: Koska itseisarvo tarkoittaa etäisyyttä nollasta: lauseke voi olla joko tai (kun ), jotta etäisyys olisi .
Milloin neliöinti on turvallista?: Kun molemmat puolet ovat ei-negatiivisia (esim. kaksi itseisarvoa). Neliöinnin jälkeen tarkista ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön, koska vieraat juuret voivat syntyä.

Lähteet ja lisämateriaali

LOPS21: MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit
Itseisarvoyhtälöt kuuluvat MAA4-kurssin analyyttisen geometrian perusteisiin.
Yo-tehtävät: itseisarvot
YTL:n materiaalipankki sisältää itseisarvoyhtälötehtäviä yo-kokeista.

Kaavat

Yhtälö muotoa |f(x)| = a

Kun , itseisarvo on täsmälleen kun lauseke on joko tai . Sovellus: etäisyysongelmat ja välin ratkaisut.

: Ei-negatiivinen luku ($a \ge 0$)
: Lauseke, jonka itseisarvo tarkastellaan

Kaksi itseisarvoa yhtä suuria

Kahden itseisarvon yhtäsuuruus tarkoittaa, että lausekkeet ovat joko samat tai vastalukuja. Käytä tätä kun molemmilla puolilla on itseisarvo.

: Lausekkeet (esim. polynomit)

Itseisarvon neliö

Itseisarvon neliöinti poistaa itseisarvomerkin. Hyödyllinen kun haluat ratkaista yhtälön neliöimällä (tarkista aina alkuperäiseen).

: Reaaliluku

Säännöt

Neliöinti

Kun molemmat puolet ovat ei-negatiivisia (itseisarvoja), yhtälö voidaan neliöidä turvallisesti. Huom: neliöinnin jälkeen tarkista ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön (vieraat juuret).

Etäisyyslukuna

tarkoittaa: etäisyys luvusta on

Lukuakselilla on pisteen etäisyys pisteestä . Yhtälöllä on ratkaisu kun . Sovellus: välimatkat ja toleranssit.

Esimerkit

Perusmuotoinen itseisarvoyhtälö

Helppo

Ratkaise yhtälö .

2x - 5 = 7 2x - 5 = -7
Poistetaan itseisarvomerkit jakamalla kahteen tapaukseen.
2x = 12 2x = -2
Siirretään vakiot.
x = 6 x = -1
Jaetaan kertoimella.

Kahden itseisarvon yhtälö

Keskitaso

Ratkaise yhtälö .

x^2 - 1 = x - 1 x^2 - 1 = -(x - 1)
Käytetään sääntöä .
x^2 - x = 0 x^2 - 1 = -x + 1
Sievennetään molemmat haarat.
x(x - 1) = 0 x^2 + x - 2 = 0
Ratkaistaan yhtälöt.
x = 0 x = 1
Ensimmäisestä haarasta.
x = =
Toisesta haarasta ratkaisukaavalla.
x = 1 x = -2
Toisen haaran ratkaisut.
Vastaus: x = -2, \; x = 0, \; x = 1
Kootaan kaikki ratkaisut (x=1 toistui).

Sovellus: etäisyys lukusuoralla

Helppo

Määritä ne reaaliluvut , joiden etäisyys luvusta on korkeintaan .

Etäisyys luvusta
Ilmaistaan ehto: , eli .
Kaksiosainen epäyhtälö
.
Vähennetään 2
. Vastaus: .

Usein kysyttyä

Miksi jaetaan kahteen tapaukseen?

Koska itseisarvo tarkoittaa etäisyyttä nollasta: lauseke voi olla joko tai (kun ), jotta etäisyys olisi .

Milloin neliöinti on turvallista?

Kun molemmat puolet ovat ei-negatiivisia (esim. kaksi itseisarvoa). Neliöinnin jälkeen tarkista ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön, koska vieraat juuret voivat syntyä.