Miksi huippu on juuri kohdassa $x = -b/(2a)$?

Paraabeli $y = ax^2 + bx + c$ on symmetrinen pystysuoran $x = -b/(2a)$ suhteen; derivaatta (MAA7) antaa ääriarvon samasta kohdasta.

Milloin paraabeli aukeaa vasemmalle?

Kun yhtälö on muodossa $x = ay^2 + by + c$ ja $a < 0$.

Paraabelin yhtälö

Paraabeli on käyrä, jonka pisteet ovat yhtä kaukana johtosuorasta ja polttopisteestä. Lukiomatematiikassa käsitellään ylöspäin/alaspäin aukeavia paraabeleja (funktion kuvaajia) sekä oikealle/vasemmalle aukeavia paraabeleja.

Määritelmä

Pistejoukko, joka toteuttaa toisen asteen yhtälön.

Kaavat

Paraabeli (pystysuora akseli)

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja. Symmetria-akseli on pystysuora. Huippu löytyy kaavasta .

: Toisen asteen kerroin ($a \neq 0$); aukeamissuunta
: Lineaari- ja vakiotermi

Paraabeli (vaakasuora akseli)

Paraabeli, jonka symmetria-akseli on vaakasuora (aukeaa vasemmalle tai oikealle). Huippu: , .

: y²-termin kerroin; a > 0 oikealle, a < 0 vasemmalle
: Lineaari- ja vakiotermi

Säännöt

Huippu (pystysuora)

Paraabelin huippu on pystysuoralla . Laske sijoittamalla yhtälöön. App: optimointi ja liike.

Aukeamissuunta

ylös/oikealle, alas/vasemmalle

Pystysuorassa paraabelissa () positiivinen antaa ylöspäin aukeavan, negatiivinen alas. Vaakasuorassa () positiivinen antaa oikealle aukeavan.

Esimerkit

Huipun määrittäminen

Helppo

Määritä paraabelin huippu.

x_0 = -
Käytetään huipun x-koordinaatin kaavaa .
x_0 = = 2
Sievennetään.
y_0 = 2(2)^2 - 8(2) + 5
Lasketaan y-koordinaatti sijoittamalla x yhtälöön.
y_0 = 8 - 16 + 5 = -3
Lasketaan arvo.
H(2, -3)
Vastaus.

Kyljellään oleva paraabeli

Keskitaso

Hahmottele paraabeli .

Koska -termin kerroin on positiivinen ja muoto on
y^2 - 2y = 0 y(y-2)=0
Etsitään y-akselin leikkauspisteet (kun x=0).
y=0 y=2
Paraabeli kulkee pisteiden (0,0) ja (0,2) kautta.
y_0 = - = 1
Huipun y-koordinaatti.
x_0 = 1^2 - 2(1) = -1
Huipun x-koordinaatti.
Huippu: (-1, 1)
Huippu sijaitsee y-akselin vasemmalla puolella.

Sovellukset

Heittoliike: kappaleen rata painovoimakentässä on paraabeli (ilman ilmanvastusta).
Optiikka: peili- ja antennirakenteet hyödyntävät paraabelin heijastusominaisuutta.
Taloustiede: kustannus- ja tuottokäyrät toisen asteen malleina.

Yleisiä virheitä

Huippu ilman tarkistusta

Huipun -koordinaatti on ; -koordinaatti pitää laskea sijoittamalla yhtälöön.

Oikein: Laske aina (tai vaakasuorassa paraabelissa).

Sekoittaa pysty- ja vaakasuoran paraabelin aukeamissuunta

Pystysuorassa : ylös. Vaakasuorassa : oikealle.

Oikein: Pysty: ylös, alas. Vaaka: oikealle, vasemmalle.

Usein kysyttyä

Miksi huippu on juuri kohdassa ?: Paraabeli on symmetrinen pystysuoran suhteen; derivaatta (MAA7) antaa ääriarvon samasta kohdasta.
Milloin paraabeli aukeaa vasemmalle?: Kun yhtälö on muodossa ja .

Lähteet ja lisämateriaali

LOPS21: MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit
Paraabelin yhtälö kuuluu MAA4-kurssin kartiokäyriin.
Yo-tehtävät: paraabeli
YTL:n materiaalipankki – paraabelitehtävät.