Pisteen etäisyys suorasta
Pisteen etäisyys suorasta on lyhin välimatka pisteestä suoralle. Tämä on sama kuin pisteestä suoralle piirretyn normaalin pituus. Etäisyyden käsitettä käytetään esimerkiksi ympyrän tangenttien määrittämisessä.
Määritelmä
Pisteen etäisyys suorasta on lyhin etäisyys (normaalin pituus) ja saadaan alla olevalla kaavalla.Kaavat
Pisteen etäisyys suorasta
Tämä kaava antaa lyhimmän (kohtisuoran) etäisyyden pisteestä suoralle. Huomaa, että suoran on oltava yleisessä muodossa .
- Pisteen koordinaatit
- Suoran yleisen muodon kertoimet
- Etäisyys (aina positiivinen)
Säännöt
Etäisyyskaava (suora yleisessä muodossa)
Suoran on oltava muodossa . Osoittajassa itseisarvo; nimittäjä on normaalivektorin pituus.
Esimerkit
Etäisyyden laskeminen
HelppoLaske pisteen P(2, -1) etäisyys suorasta .
- a=3, \; b=-4, \; c=5, \; x_0=2, \; y_0=-1Tunnistetaan kertoimet ja koordinaatit.
- d = Sijoitetaan kaavaan.
- d = Sievennetään.
- d = = = 3Lasketaan lopputulos.
Suoran muuntaminen yleiseen muotoon
KeskitasoLaske origon etäisyys suorasta .
- -2x + y + 3 = 0 2x - y - 3 = 0Etäisyyskaava vaatii suoran yleisessä muodossa . Siirretään termit.
- a=2, \; b=-1, \; c=-3, \; (x_0, y_0)=(0,0)Tunnistetaan kertoimet.
- d = Sijoitetaan kaavaan.
- d = = Sievennetään.
Sovellus: ympyrän tangentin etäisyys
KeskitasoYmpyrän yhtälö on . Suora leikkaa ympyrän. Onko suora ympyrän tangentti?
- Keskipiste ja sädeKeskipiste , säde .
- Origon etäisyys suorasta.
- Vertailu sädettä, joten suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä eikä ole tangentti (tangentilla olisi ).
Sovellukset
- Ympyrän tangentti: ympyrän säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan; etäisyys keskipisteestä suoralle on säde.
- Toleranssit ja vyöhykkeet: "kaikki pisteet, joiden etäisyys suorasta on enintään d" kuvaa kaistaleen.
- Fysiikka: etäisyys voiman vaikutussuorasta momentin laskennassa.
Yleisiä virheitä
Unohtaa itseisarvomerkit osoittajasta
Etäisyys ei voi olla negatiivinen. Ilman itseisarvoa voi olla .
Oikein:
Käyttää suoraan muotoa
Kaava toimii vain yleisessä muodossa . Muunna yhtälö ensin (siirrä termit).
Oikein: Muunna esim. , sitten käytä kaavaa.
Usein kysyttyä
- Miksi kaavassa on itseisarvo?
- Koska lauseke voi olla negatiivinen riippuen pisteen puolella suorasta; etäisyys on aina ei-negatiivinen.
- Toimiiko kaava myös pystysuoralle ?
- Kyllä: yleinen muoto on , jolloin , , . Silloin .
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit
Pisteen etäisyys suorasta on MAA4:n keskeinen sovellus.
- Yo-tehtävät: etäisyys ja tangentti
YTL:n materiaalipankki – etäisyys- ja tangenttitehtävät.