Suoran yhtälö
Suora on yksinkertaisin geometrinen käyrä. Sen ominaisuuksia kuvaavat kulmakerroin (jyrkkyys) ja suuntavektori. Suora voidaan esittää monessa eri muodossa, kuten ratkaistussa muodossa tai normaalimuodossa.
Määritelmä
Pisteet , jotka toteuttavat yhtälön , muodostavat suoran.Kaavat
Piste-kulmakerroinmuoto
Tämä on käytännöllisin muoto, kun tiedetään suoran kulmakerroin ja yksi piste. Se kertoo, että kulmakerroin on vakio missä tahansa suoran pisteessä suhteessa tunnettuun pisteeseen .
- Suoran kulmakerroin (jyrkkyys)
- Suoralla oleva tunnettu piste
- Mikä tahansa muu suoran piste
Ratkaistu muoto
Tämä muoto (kulmakerroinmuoto) on funktion kuvaaja. Se kertoo suoraan, missä suora leikkaa y-akselin (vakiotermi ).
- Kulmakerroin
- Vakiotermi (y-akselin leikkauskohta)
Yleinen muoto (normaalimuoto)
Kaikki suorat, myös pystysuorat (kuten ), voidaan esittää tässä muodossa. Kertoimet ja liittyvät suoran normaalivektoriin .
- Normaalivektorin kertoimet
- Vakiotermi
Säännöt
Kulmakerroin
Kahden pisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin: y-muutos jaettuna x-muutoksella.
Yhdensuuntaisuus
Yhdensuuntaisilla suorilla on sama kulmakerroin.
Kohtisuoruus
Kohtisuorilla suorilla kulmakertoimien tulo on , eli .
Esimerkit
Suoran määrittäminen kahdesta pisteestä
HelppoMääritä pisteiden A(1, 2) ja B(3, 8) kautta kulkevan suoran yhtälö.
- k = = = 3Lasketaan kulmakerroin k.
- y - 2 = 3(x - 1)Sijoitetaan piste A(1, 2) ja k=3 piste-kulmakerroinmuotoon.
- y = 3x - 3 + 2Ratkaistaan y.
- y = 3x - 1Sievennetään.
Normaalivektorin käyttö
KeskitasoSuoran normaalivektori on ja suora kulkee pisteen P(4, 1) kautta. Määritä suoran yhtälö.
- 2x - 3y + c = 0Normaalivektorin kertoimet antavat suoraan yleisen muodon kertoimet a ja b.
- 2(4) - 3(1) + c = 0Sijoitetaan piste P(4, 1) yhtälöön.
- 8 - 3 + c = 0 c = -5Ratkaistaan c.
- 2x - 3y - 5 = 0Kirjoitetaan lopullinen yhtälö.
Kohtisuora suora annetun pisteen kautta
KeskitasoSuora kulkee pisteiden ja kautta. Määritä pisteen kautta kulkeva suora, joka on kohtisuorassa :ää vastaan.
- Kulmakerroin .
- Kohtisuoran kulmakerroin.
- Piste-kulmakerroinmuoto.
- Sievennettynä(tai ).
Sovellukset
- Liike ja nopeus: kulmakerroin vastaa nopeutta (y = matka, x = aika).
- Kustannus- ja tuottofunktiot: lineaarinen malli on perusta talouslaskennassa.
- Geometria: suoran yhtälö tarvitaan etäisyyksissä, tangentissa ja leikkauspisteissä.
Yleisiä virheitä
Kulmakertoimessa y-muutos on aina osoittajassa (ylhäällä).
Oikein:
ei ole suora
Pystysuora ei ole funktion kuvaaja, mutta se on täysin validi suoran yhtälö.
Oikein: on pystysuora; käytä yleistä muotoa (esim. ).
Usein kysyttyä
- Miksi pystysuoraa ei voi kirjoittaa muodossa ?
- Koska pystysuoralla sama vastaa kaikkia -arvoja; ei ole :n funktio. Käytä yleistä muotoa .
- Miten muistan kohtisuoruuden ehdon?
- Kohtisuorilla suorilla kulmakertoimien tulo on , eli . Esim. kohtisuora .
Historiaa
Suoran yhtälö on kehittynyt René Descartesin (1596–1650) työn pohjalta. Hän yhdisti algebran ja geometrian luoden analyyttisen geometrian perusteet. Tämä mahdollisti geometristen ongelmien ratkaisemisen yhtälöiden avulla.Tehtävissä
Käytetään pisteiden välisen suoran ja suoran ja pisteen etäisyyden laskemiseen. Tarvitaan kaikissa MAA4-kokeissa ja ylioppilaskokeessa geometrian osiossa.Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit
Suoran yhtälö on MAA4-kurssin ydinaihe.
- Yo-tehtävät: suora ja geometria
YTL:n materiaalipankki – suoran yhtälö ja sovellukset.