Miksi keskipiste on $(x_0, y_0)$ jos termi on $(x + 2)^2$?

Koska $(x + 2)^2 = (x - (-2))^2$, joten $x_0 = -2$. Keskipisteen koordinaatti on aina binomin vakio vastalukuna.

Ympyrän yhtälö

Ympyrä on kaikkien niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana keskipisteestä. Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa tai yleisessä muodossa. Ympyrää sovelletaan esimerkiksi satelliittiratojen ja mekanismien mallinnuksessa.

Määritelmä

Pisteet , joiden etäisyys keskipisteestä on .

Kaavat

Keskipistemuoto

Tämä on ympyrän yhtälön perusmuoto. Se perustuu suoraan pisteen etäisyyden kaavaan: etäisyys keskipisteestä kehälle on vakio .

: Ympyrän keskipiste
: Ympyrän säde (r > 0)
: Piste ympyrän kehällä

Yleinen muoto

Tämä muoto saadaan avaamalla keskipistemuodon sulut. Kertoimista , ja ei näe suoraan keskipistettä tai sädettä, vaan ne täytyy ratkaista neliöksi täydentämällä.

: Vakiokertoimet

Säännöt

Keskipisteen ja säteen löytäminen

keskipiste , säde

Kun yhtälö on keskipistemuodossa, keskipiste ja säde luetaan suoraan. Huom: tarkoittaa .

Neliöksi täydentäminen

Lisää molemmille puolille jotta muuttuu binomin neliöksi.

Esimerkit

Yhtälön määrittäminen keskipisteestä ja säteestä

Helppo

Määritä ympyrän yhtälö, kun keskipiste on ja säde .

(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2
Sijoitetaan keskipiste ja säde kaavaan.
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16
Sievennetään merkit ja neliö.

Ympyrä yleisestä muodosta keskipistemuotoon

Keskitaso

Tutki, onko yhtälö ympyrä. Määritä keskipiste ja säde.

(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 3
Ryhmitellään x- ja y-termit, siirretään vakio.
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4
Täydennetään neliöiksi: , . Lisätään vakiot molemmille puolille.
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16
Kirjoitetaan binomin neliöinä.
K(3, -2), \; r = = 4
Tunnistetaan keskipiste ja säde.

Tangentin ehto: etäisyys = säde

Vaikea

Ympyrä . Suora . Määritä niin, että suora on ympyrän tangentti.

Etäisyys keskipisteestä suoralle
Keskipiste . Suora . .
Tangentin ehto
.
Ratkaisu
tai .

Sovellukset

Liikenne ja radat: satelliittirata, pyöräliikenne ja kaariliikenne mallinnetaan ympyrän yhtälöllä.
Mekaniikka: pyörivän kappaleen pisteet ja tangentin suunta.
Tason geometria: tangentti, leikkauspisteet suoran kanssa ja kahden ympyrän keskinäinen asema.

Yleisiä virheitä

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö , ei pelkkä säde .

Oikein: = r^2

Keskipisteen merkit

Jos termi on , keskipisteen x-koordinaatti on -3, ei 3.

Oikein: (x - (-3))^2 x_0 = -3

Usein kysyttyä

Miten tunnistan, että yhtälö esittää ympyrää?: Neliöksi täydentämisen jälkeen vasemmalla puolella on kahden binomin neliöiden summa ja oikealla positiivinen luku . Jos oikea puoli on negatiivinen tai nolla, kyseessä on tyhjä joukko tai yksittäinen piste.
Miksi keskipiste on jos termi on ?: Koska , joten . Keskipisteen koordinaatti on aina binomin vakio vastalukuna.

Historiaa

Ympyrä on yksi vanhimmista geometrisista muodoista. Antiikin kreikkalaiset tutkivat ympyrää perusteellisesti, mutta analyyttinen muoto tuli mahdolliseksi vasta Descartesin ja Fermat'n työn myötä 1600-luvulla.

Tehtävissä

Tarvitaan ympyrän ja suoran leikkauspisteiden sekä ympyrän tangentin määrittämisessä. Keskeinen osa MAA4-kurssia.

Lähteet ja lisämateriaali

LOPS21: MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit
Ympyrän yhtälö kuuluu MAA4-kurssin analyyttisen geometrian tavoitteisiin.
Yo-tehtävät: ympyrä ja tangentti
YTL:n materiaalipankki – ympyrätehtävät.