Implisiittinen derivointi – F(x, y) = 0 -yhtälöt
Implisiittinen derivointi tarvitaan, kun ei ole ratkaistu suoraan :n funktiona. Menetelmä mahdollistaa tangenttien ja muutosnopeuksien laskemisen ympyröille, ellipsille ja muille käyrille.
Määritelmä
Jos yhtälö kuvaa käyrää, derivoidaan molemmat puolet :n suhteen ja ratkaistaan .Kaavat
Säännöt
Derivoi koko yhtälö
Pidä mielessä, että jokainen -termi saa ketjusäännön kertoimen .
Kerää $y'$-termien yhteinen tekijä
Siirrä kaikki sisältävät termit vasemmalle ennen jakoa.
Tarkista pisteen kuuluvuus
Varmista, että annettu piste toteuttaa alkuperäisen yhtälön.
Esimerkit
Ympyrän tangentti
HelppoDerivoi .
- Derivoi molemmat puolet.
- RatkaiseSaat .
Ellipsin kulmakerroin
KeskitasoDerivoi .
- Derivoi.
- RatkaiseSaat .
Tulon ja potenssin yhdistelmä
VaikeaDerivoi .
- Käytä tulon sääntöä.
- Kerää Saat .
Sovellukset
- Ympyrän ja ellipsin tangenttien laskeminen ilman -arvon selvittämistä.
- Liittyvien muuttujien ongelmat, joissa suureet riippuvat toisistaan epäsuorasti.
Yleisiä virheitä
Ketjusääntö unohtuu
derivoidaan väärin ilman -tekijää.
Oikein: Derivoi ja kerro tekijällä.
Tulon sääntö sivuutetaan
Termi tarvitsee derivoinnissa sekä että .
Oikein: Derivoi ja erikseen ja kerro tekijällä.
Usein kysyttyä
- Milloin implisiittistä derivointia käytetään?
- Kun ei palaudu helposti yksiselitteiseksi funktioksi :stä, kuten ympyrässä tai ellipsissä.
- Voinko ratkaista ja derivoida normaalisti?
- Joissakin tapauksissa kyllä, mutta implisiittinen menetelmä säästää aikaa ja käsittelee molemmat haarat yhtäaikaisesti.
- Miten varmistan tuloksen?
- Sijoita piste sekä alkuperäiseen yhtälöön että löydettyyn derivaattaan. Tarkista, ettei nimittäjä nollaannu.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA6 Derivaatta – implisiittiset käyrät
Opetussuunnitelman ohjeistus implisiittiseen derivointiin.
- Yo-tehtäväpankki: implisiittinen derivointi
Poimintoja koetehtävistä, joissa $y'$ ratkaistaan yhtälöstä.