Ketjusääntö – yhdistettyjen funktioiden derivointi

Ketjusääntö auttaa derivoimaan yhdistettyjä funktioita, joita esiintyy MAA6- ja yo-tehtävissä. Hallitse tapa erottaa sisä- ja ulkofunktio ja sovella sääntöä myös eksponenttien sekä trigonometria yhdistelmissä.

Määritelmä

Jos , niin on derivoituva, jos ja ovat derivoituvia. Tällöin .

Kaavat

Säännöt

Tunnista sisäfunktio

Valitse , jotta yhdistelmä erottuu.

Derivoi ulkofunktio

Laske ja kerro tulos :lla.

Palauta muuttuja

Sijoita lopputulokseen ja yksinkertaista.

Esimerkit

Polynomi eksponentissa

Helppo

Derivoi .

Määrittele sisäfunktio
Aseta , jolloin .
Derivoi ulkofunktio
Potenssisäännöllä .
Derivoi sisäfunktio
.
Yhdistä tulos
Saat .

Trigonometrinen sisäfunktio yo-tehtävästä

Keskitaso

Derivoi .

Tunnista yhdistetty funktio
Ulompi funktio on eksponentti ja sisempi .
Derivoi ulkofunktio
.
Derivoi sisäfunktio
.
Sijoita takaisin
Saat .

Sovellukset

Kiihtyvyyslaskuissa ketjusääntö yhdistää ajan ja sijainnin muutokset, kun liikeradat annetaan parametreina.
Taloudessa ketjusäännön avulla derivoidaan yhdistetyt kustannusfunktiot, joissa tuotantomäärä riippuu useista alafunktioista.

Yleisiä virheitä

Sisäfunktion derivaatta jää kertomatta

Tuloksesta puuttuu , jolloin vastauksesta tulee liian pieni.

Oikein: Kirjoita välivaiheisiin erikseen ja , jotta ketjun viimeinen kerroin ei unohdu.

Sisäfunktion valinta on liian monimutkainen

Joskus sisäfunktioksi valitaan koko funktio ja ulommaksi jää vain vakio.

Oikein: Valitse niin, että ulompi osa on suoraan taulukosta derivoitavissa.

Usein kysyttyä

Miten valitsen sopivan sisäfunktion?: Valitse osa, jota ei saa derivoitua yhdellä taulukko- tai perussäännöllä. Yleensä se on sulkeiden sisällä oleva lauseke tai eksponentin sisältö.
Voinko käyttää ketjusääntöä useamman kerran?: Kyllä. Monimutkaisissa yhdistelmissä määrität uuden :n aina, kun funktio sisäkkäistyy. Esimerkiksi vaatii ketjusäännön kahdesti.
Miten ketjusääntö eroaa tulon säännöstä?: Ketjusääntö koskee funktioiden yhdistelmiä, tulon sääntö funktioiden tuloa. Jos lauseke on sekä tulo että yhdistelmä, käytä molempia sääntöjä peräkkäin.

Lähteet ja lisämateriaali

MAA6 ketjusäännön teoria
Kurssimateriaali, jossa ketjusäännön todistus ja esimerkit käsitellään askelittain.
Yo-kokeiden ketjusääntötehtävät
Valikoitu koonti yo-tehtävistä, joissa ketjusääntö on ratkaisevassa roolissa.

Esimerkit

Polynomi eksponentissa

Helppo

Derivoi .

Määrittele sisäfunktio
Aseta , jolloin .
Derivoi ulkofunktio
Potenssisäännöllä .
Derivoi sisäfunktio
.
Yhdistä tulos
Saat .

Trigonometrinen sisäfunktio yo-tehtävästä

Keskitaso

Derivoi .

Tunnista yhdistetty funktio
Ulompi funktio on eksponentti ja sisempi .
Derivoi ulkofunktio
.
Derivoi sisäfunktio
.
Sijoita takaisin
Saat .

Yleisiä virheitä

Sisäfunktion derivaatta jää kertomatta

Tuloksesta puuttuu , jolloin vastauksesta tulee liian pieni.

Oikein: Kirjoita välivaiheisiin erikseen ja , jotta ketjun viimeinen kerroin ei unohdu.

Sisäfunktion valinta on liian monimutkainen

Joskus sisäfunktioksi valitaan koko funktio ja ulommaksi jää vain vakio.

Oikein: Valitse niin, että ulompi osa on suoraan taulukosta derivoitavissa.

Usein kysyttyä

Miten valitsen sopivan sisäfunktion?

Valitse osa, jota ei saa derivoitua yhdellä taulukko- tai perussäännöllä. Yleensä se on sulkeiden sisällä oleva lauseke tai eksponentin sisältö.

Voinko käyttää ketjusääntöä useamman kerran?

Kyllä. Monimutkaisissa yhdistelmissä määrität uuden :n aina, kun funktio sisäkkäistyy. Esimerkiksi vaatii ketjusäännön kahdesti.

Miten ketjusääntö eroaa tulon säännöstä?

Ketjusääntö koskee funktioiden yhdistelmiä, tulon sääntö funktioiden tuloa. Jos lauseke on sekä tulo että yhdistelmä, käytä molempia sääntöjä peräkkäin.