Korkeamman kertaluvun derivaatat – toinen ja kolmas derivaatta
Toinen derivaatta kertoo kuperuuden ja kiihtyvyyden, kolmas derivaatta kuvaa muutoksen seuraavaa tasoa. Harjoittele derivaattojen ketjun rakentamista askel kerrallaan.
Määritelmä
Määritelmä: , .Kaavat
Säännöt
Toisen derivaatan testi
Jos ja , piste on minimi; jos , maksimi.
Ketjusääntö säilyy
Derivoitaessa useita kertoja muistetaan aina sisäfunktion derivaatta.
Merkinnät
Käytä joko tai – älä sekoita muotoon.
Esimerkit
Polynomin toinen derivaatta
HelppoLaske , kun .
- Ensimmäinen derivaatta.
- Toinen derivaatta.
Trigonometrinen esimerkki
KeskitasoLaske funktiolle .
- Derivoi kerran.
- Derivoi uudelleen.
Kolmas derivaatta
KeskitasoEtsi , kun .
- Toinen derivaatta.
- Kolmas derivaatta.
Sovellukset
- Kiihtyvyyden ja jerk-arvon laskeminen liike- ja fysiikkatehtävissä.
- Funktion kuperuuden ja ääriarvon luonteen tutkiminen yo-tehtävissä.
Yleisiä virheitä
Se sekoitetaan neliöön
Toinen derivaatta ei ole .
Oikein: Toinen derivaatta on , eli derivaatta derivoituna uudestaan.
Ketjusääntö unohtuu
Esimerkiksi tarvitsee kertoimen .
Oikein: Derivoi ketjusäännöllä kahdesti: .
Usein kysyttyä
- Mitä toinen derivaatta kertoo kuvaajasta?
- Se kertoo onko funktio kupera alaspäin () vai ylöspäin () pisteessä.
- Miten yo-kokeissa perustellaan ääriarvon luonne?
- Näytä että ja viittaa toisen derivaatan testiin tai merkkikaavioon.
- Entä jos toinen derivaatta on nolla?
- Tarkista kolmas derivaatta tai merkkikaavio – kyseessä voi olla käännepiste.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA6 Derivaatta – jatkoderivaatat
LOPS21:n kuvaus toisen derivaatan roolista.
- Yo-tehtävät: toinen derivaatta
Kokoelma tehtäviä, joissa hyödynnetään toisen derivaatan testiä.