Miksi $(\ln|x|)' = 1/x$ myös negatiivisille $x$-arvoille?

Koska $\ln|x|$ on määritelty molemmille puolille nollaa ja sen derivaatta seuraa ketjusäännöstä: $|x|' = \operatorname{sgn}(x)$ kumoutuu nimittäjän kanssa.

Logaritmifunktioiden derivointi – $ln x$ ja $log_a x$

Logaritmit ovat eksponenttifunktioiden käänteisiä. Kun hallitset logaritmien derivointisäännöt, pystyt käsittelemään mallintamista, skaalauksia ja yo-tehtävien raja-arvoja.

Määritelmä

Luonnollisen logaritmin derivaatta on (kun ). Yleisen logaritmin derivaatta on , missä ja .

Kaavat

Säännöt

Ketjusääntö

Kun argumentti on , derivoit muodossa .

Logaritmin laskusäännöt

Logaritmiderivointi

Kirjoita , derivoit ja kerro tulos :llä.

Esimerkit

Ketjusääntö suoralle funktiolle

Helppo

Derivoi .

Tunnista sisäfunktio
Aseta .
Sovella ketjusääntöä
Saat .

Logaritmi potenssilausekkeesta

Keskitaso

Derivoi .

Derivoi sisäfunktio
kun .
Muodosta derivaatta
Saat .

Yleinen logaritmi

Vaikea

Derivoi .

Kirjoita luonnollisen logaritmin avulla
.
Sovella ketjusääntöä
Saat .

Sovellukset

Äänenvoimakkuuden desibeliasteikko käyttää logaritmeja: derivaatta kertoo, miten pienet muutokset intensiteetissä vaikuttavat tasoon.
pH-laskuissa derivaatta kuvaa, miten happamuus reagoi konsentraation muutoksiin.
Talouden kasvumallit hyödyntävät logaritmeja, jotta suhteelliset muutokset näkyvät lineaarisina trendeinä.

Yleisiä virheitä

Argumentin derivaatta unohtuu

Esimerkiksi ei ole ilman ketjusääntöä.

Oikein: Kirjoita näkyviin ja kerro tulos :llä.

Logaritmien laskusäännöt sotkeutuvat

ei hajoa summaksi.

Oikein: Käytä vain oikeita sääntöjä: tulo, osamäärä ja potenssi.

Usein kysyttyä

Miksi myös negatiivisille -arvoille?: Koska on määritelty molemmille puolille nollaa ja sen derivaatta seuraa ketjusäännöstä: kumoutuu nimittäjän kanssa.
Milloin kannattaa käyttää logaritmiderivointia?: Kun funktio on tuote useista tekijöistä tai muuttuja esiintyy eksponenttina, logaritmiderivointi yksinkertaistaa lauseketta ennen derivointia.
Miten perustelen yo-kokeessa logaritmin derivoinnin?: Kirjoita ketjusäännön välivaiheet tai viittaa tunnettuun kaavaan ja mainitse määrittelyjoukko, esimerkiksi .

Lähteet ja lisämateriaali

MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot
Opetussuunnitelman tavoitteet logaritmifunktioille.
Yo-tehtäväpaketti: logaritmit
YTL:n tehtäviä, joissa tarvitaan logaritmien derivointia.

Esimerkit

Ketjusääntö suoralle funktiolle

Helppo

Derivoi .

Tunnista sisäfunktio
Aseta .
Sovella ketjusääntöä
Saat .

Logaritmi potenssilausekkeesta

Keskitaso

Derivoi .

Derivoi sisäfunktio
kun .
Muodosta derivaatta
Saat .

Yleinen logaritmi

Vaikea

Derivoi .

Kirjoita luonnollisen logaritmin avulla
.
Sovella ketjusääntöä
Saat .

Sovellukset

Äänenvoimakkuuden desibeliasteikko käyttää logaritmeja: derivaatta kertoo, miten pienet muutokset intensiteetissä vaikuttavat tasoon.

pH-laskuissa derivaatta kuvaa, miten happamuus reagoi konsentraation muutoksiin.

Talouden kasvumallit hyödyntävät logaritmeja, jotta suhteelliset muutokset näkyvät lineaarisina trendeinä.

Usein kysyttyä

Miksi myös negatiivisille -arvoille?

Koska on määritelty molemmille puolille nollaa ja sen derivaatta seuraa ketjusäännöstä: kumoutuu nimittäjän kanssa.

Milloin kannattaa käyttää logaritmiderivointia?

Kun funktio on tuote useista tekijöistä tai muuttuja esiintyy eksponenttina, logaritmiderivointi yksinkertaistaa lauseketta ennen derivointia.

Miten perustelen yo-kokeessa logaritmin derivoinnin?

Kirjoita ketjusäännön välivaiheet tai viittaa tunnettuun kaavaan ja mainitse määrittelyjoukko, esimerkiksi .