Osamäärän sääntö – jakolausekkeen derivointi
Osamäärän sääntö kertoo, miten kahden funktion jakolasku derivoidaan. Sääntö täydentää tulon sääntöä ja on välttämätön rationaalifunktioiden analysoinnissa.
Määritelmä
Jos jaeq 0f'(x) =
Kaavat
Muistisääntö: “ylä' laina” () miinus “ala' laina” (), nimittäjän neliö
Jos on vakio, sääntö supistuu muotoon
Säännöt
1. Valitse $u$ ja $v$
Kirjoita funktio eksplisiittisesti osamääränä, jotta tunnistat osoittajan ja nimittäjän.
2. Laske derivaatat
Derivoi ja (tarvittaessa ketjusäännön tai tulon säännön avulla).
3. Yksinkertaista
Muodosta ja supista yhteiset tekijät.
Esimerkit
Rationaalifunktion derivaatta
HelppoDerivoi .
- Derivoi termit, .
- Sovella sääntöä.
Trigonometrinen osamäärä
KeskitasoDerivoi .
- Derivoi osoittaja ja nimittäjä, .
- Muodosta derivaatta.
Yhdistetty funktio
KeskitasoDerivoi .
- Derivoi osat, .
- Sovella sääntöä.
Sovellukset
- Rationaalifunktioiden kasvun ja ääriarvojen tutkiminen yo-tehtävissä.
- Trigonometriset analyysit, kuten -derivointi.
- Taloustiede: keskimääräiset kustannukset ja niiden muutosnopeus.
Yleisiä virheitä
Miinusmerkin paikka vaihtuu
Osoittajan järjestys on aina .
Oikein: Osamäärän sääntö: .
Nimittäjä unohtuu korottaa toiseen
Muista, että nimittäjä on aina , ei pelkkä .
Oikein: Derivaatta on ; nimittäjä aina neliössä.
Ketjusääntö jää käyttämättä
Jos tai on yhdistetty funktio, derivoit sitä ketjusäännöllä ennen kuin sijoitat kaavaan.
Oikein: Laske ensin ja ketjusäännöllä tarvittaessa, sijoita kaavaan.
Usein kysyttyä
- Voinko välttää osamäärän sääntöä?
- Jos nimittäjä on vakio tai osamäärä voidaan kirjoittaa tulona , voit käyttää tulon sääntöä ja ketjusääntöä. Usein sääntö kuitenkin nopeuttaa työtä.
- Miten ratkaisen pysähtymiskohdat rationaalifunktiolle?
- Derivoi osamäärän säännöllä ja etsi kohdat, joissa tai joissa derivaattaa ei ole (nimittäjä nolla). Muista tarkistaa määrittelyjoukko.
- Miksi osoittajassa on miinusmerkki?
- Johdannossa käytetään ketjusääntöä funktiolle , jolloin nimittäjän derivaatasta syntyy negatiivinen termi.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA6 Derivaatta – osamäärän sääntö
LOPS21:n kuvaus derivoinnin perussäännöistä.
- Yo-tehtäväpaketti: osamäärä
Aiemmissa kokeissa esiintyneitä derivointitehtäviä ratkaisuineen.