Parametrinen derivointi – $x(t)$ ja $y(t)$
Parametrisissa tehtävissä pisteen sijainti annetaan ajan tai kulman funktiona. Derivaatat kertovat tangentin kulmakertoimen ja liikkeen suunnan, vaikka ei olisi suoraan saatavilla.
Määritelmä
Kun ja , niin aina kuneq 0
Kaavat
Tangentin kulmakerroin pisteessä :
Säännöt
1. Derivoi parametrin mukaan
Laske ja .
2. Muodosta suhde
Tangentti: .
3. Tarkista määrittely
Jos , tangentti on pystysuora – käytä signaalitietoa tai tarkastele erikseen.
Esimerkit
Perusesimerkki
HelppoOlkoon ja . Laske .
- Derivoi, .
- Muodosta suhde.
Ympyrän tangentti
KeskitasoYmpyrä , . Mikä on tangentin kulmakerroin kohdassa ?
- Derivoi, .
- Sijoita.
Toinen derivaatta
KeskitasoKäyrä , . Laske .
- Ensimmäinen derivaatta.
- Derivoi :n suhteen.
- Jaa :llä, joten .
Sovellukset
- Parametriset ympyrät ja ellipsit: tangentit ja normalit.
- Liike tasossa: hiukkasen nopeus-komponentit ja kulkusuunta.
- Sykloidi- ja spiraalikäyrät yo-kokeissa ja teknisissä sovelluksissa.
Yleisiä virheitä
Suhde käännetään vahingossa
Derivaatta on , ei päinvastoin.
Oikein: Muista: , eli on osoittajassa ja nimittäjässä.
Toinen derivaatta lasketaan suoraan
Oikea kaava käyttää ensin ja jakaa tuloksen :llä.
Oikein: Laske ensin , sitten derivoi se t:n suhteen ja lopuksi jaa :llä. Siis .
Unohdetaan tarkistaa
Jos nimittäjä nolla, tangentti on pystysuora – raportoi se erikseen.
Oikein: Etsi kaikki ja tarkista onko . Näissä kohdissa kulmakerrointa ei ole, ja tangentti on pystysuora.
Usein kysyttyä
- Mitä teen, jos ?
- Tangentti on pystysuora. Kirjoita ja ilmoita, että kulmakerrointa ei ole.
- Miten löydän tangenttisuoran yhtälön?
- Laske kulmakerroin ja piste , sitten käytä muotoa .
- Voinko käyttää parametria muuta kuin aikaa?
- Kyllä – parametri on mikä tahansa apumuuttuja. Derivointisäännöt pysyvät samoina.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA6 Derivaatta – parametriset käyrät
Opetussuunnitelman kohta, jossa parametrinen derivointi mainitaan.
- Yo-tehtävät parametrisista käyristä
Kokoelma vanhoja tehtäviä ja malliratkaisuja.