Tangentit ja normaalit derivaatasta
Derivaatta antaa käyrän tangentin kulmakertoimen. Normaalilinja on tangenttia vastaan kohtisuorassa, joten kulmakerroin saadaan ottamalla negatiivinen käänteisluku.
Määritelmä
Pisteessä tangentin kulmakerroin on ja normaalin , kuneq 0
Kaavat
Tangentti:
Normaali:
Jos , tangentti on vaakasuora ja normaali pystysuora ()
Säännöt
1. Laske piste
Etsi .
2. Kulmakerroin
Derivaatan arvo on tangentin kulmakerroin.
3. Muodosta suoran yhtälö
Käytä piste-kulmakerroin -muotoa tangentille ja normaalille.
Esimerkit
Polynomin tangentti
HelppoFunktio pisteessä .
- Piste.
- Kulmakerroin, joten .
- Tangentti.
Normaali trigonometriselle funktiolle
Keskitaso pisteessä .
- Piste.
- Kulmakerroin, joten .
- Normaali, yhtälö .
Tangentti tiettyyn suuntaan
KeskitasoEtsi pisteet, joissa :n tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa.
- Kulmakerroin ehtoTarvitaan . Koska , ratkaisu .
- Piste.
- Tangentti.
Sovellukset
- Yo-tehtävät: tangentti tiettyyn pisteeseen tai suuntaan.
- Geometriset todistukset, joissa tangentit ja normaalit liittyvät ympyröihin ja ellipsiin.
- Fysiikan liikerata-analyysit – nopeusvektori on tangentti, kiihtyvyys osoittaa normaalin suuntaan.
Yleisiä virheitä
Normaalin kulmakerrointa ei käännetä
Muista , ei .
Oikein: Normaalin kulmakerroin: (tangentin kulmakerroin ).
Tangentti ilmoitetaan ilman pistettä
Suoran yhtälö tarvitsee sekä kulmakertoimen että kosketuspisteen.
Oikein: Tangentti: .
Pystysuora tangentti unohtuu
Jos derivaattaa ei ole, tangentti on muotoa ja normaali .
Oikein: Pystysuora tangentti: ; vaakasuora normaali: .
Usein kysyttyä
- Miten huomioin vaakasuoran tangentin?
- Jos , tangentti on ja normaali .
- Voinko käyttää pistemuotoa ?
- Kyllä, mutta piste-kulmakerroin -muoto nopeuttaa työskentelyä ja vähentää virheitä.
- Miten löydän tangentit, jotka kulkevat annetun pisteen kautta?
- Ratkaise yhtälöstä käyttäen annettua pistettä – saat usein toisen asteen yhtälön.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA6 Derivaatta – tangentit
Opetussuunnitelman kohdat tangenttien ja normaalien laskemisesta.
- Yo-kokoelma: tangentit ja normaalit
Esimerkkitehtäviä ja ratkaisuja vuosilta 2015–2024.