Tulon sääntö – tuotteen derivaatta askel askeleelta
Tulon sääntö kertoo, miten kahden derivoituvan funktion tulo derivoidaan. Tarvitset sääntöä MAA6-kurssilla sekä yo-tehtävissä, joissa yhdistyvät polynomit, eksponentit ja trigonometria.
Määritelmä
Jos ja , ovat derivoituvia, niin . Kolmen funktion tulo saadaan soveltamalla sääntöä kahdesti.Kaavat
Säännöt
Valitse tekijät
Tunnista ja niin, että ne ovat derivoitavissa perussäännöillä.
Derivoi molemmat
Laske ja erikseen ja pidä ulkopuoliset funktiot ennallaan.
Yhdistä ja yksinkertaista
Muodosta ja etsi lopuksi yhteiset tekijät.
Esimerkit
Polynomin ja eksponentin tulo
HelppoDerivoi .
- Aseta ja Valitse tekijät niin, että kumpikin on helppo derivoida.
- Derivoi tekijätja .
- Sovella tulon sääntöäSaat .
Trigonometrinen tulo yo-tehtävästä
KeskitasoDerivoi .
- Aseta , Molemmat trigonometriset funktiot ovat derivoituvia.
- Derivoi tekijät, .
- Muodosta derivaattaSaat .
Tulo ja ketjusääntö yhdessä
VaikeaDerivoi .
- Valitse tekijätAseta , .
- Derivoi tekijätketjusäännöllä, .
- Laske ja supistaTulon sääntö antaa .
Sovellukset
- Yo-kokeissa tulon sääntöä käytetään optimointitehtävissä, joissa funktio muodostuu usean osa-funktion tulosta.
- Fysiikassa derivaatta kertoo tehon muutoksen, kun riippuu jännitteestä ja virrasta.
Yleisiä virheitä
Derivoidaan tekijät ja kerrotaan tulokset keskenään
Virheellinen kaava hävittää kaikki sekatermit.
Oikein: Kirjoita aina kaksi termiä: .
Ketjusäännön kertominen unohtuu
Jos tekijä on yhdistetty funktio, sen derivaatta tarvitsee sisäfunktion kertojan.
Oikein: Laske ensin tekijän derivaatta oikein ja vasta sitten kerro toisella tekijällä.
Usein kysyttyä
- Milloin käytän tulon sääntöä enkä osamäärän sääntöä?
- Jos lauseke on puhdas tulo ilman jakajaa, käytä tulon sääntöä. Osamäärän sääntö tarvitaan vasta, kun lauseke on muodossa .
- Voinko kertoa lausekkeen auki ennen derivointia?
- Polynomien kohdalla se on usein järkevää, mutta eksponentit ja trigonometria on nopeampi hoitaa tulon säännöllä.
- Miten osoitan ääriarvon yo-kokeessa?
- Tulon säännön jälkeen tee merkkikaavio tai tutki toista derivaattaa. Pelkkä ei riitä perusteluksi.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA6 Derivaatta – opetussuunnitelma
Kurssikuvaus, jossa tulon sääntö esiintyy ensimmäistä kertaa.
- Yo-tehtäviä tulon säännöstä
Ylioppilastutkintolautakunnan arkisto esimerkkeineen.