Differentiaaliyhtälöiden sovellukset – hajoamismallit
Hajoamismalli kuvaa suurteen vähenemistä. Radioaktiivinen aine, lääkeannos tai saaste noudattaa usein eksponentiaalista lakia . Yo-tehtävissä ratkaise malli, tulkitse puoliintumisaika ja esitä yksiköt.
Kaavat
(eksponentiaalinen hajoaminen)
(ratkaisu)
(puoliintumisaika)
(hajoamisvakio puoliintumisajasta)
Säännöt
Valitse $\lambda$
on positiivinen vakio, joka kuvaa hajoamisnopeutta. Mitä suurempi , sitä nopeammin määrä pienenee.
Sovita vakio$N_0$
Aseta tai muu aluksi annettu mittauspiste ja ratkaise siitä vakio.
Puoliintumisajan käyttö
Kun , seuraa suoraan, että .
Lineaarinen logaritmi
Hajoamismallin parametrit voidaan arvioida suoraviivaisesti: on lineaarinen yhtälö.
Esimerkit
Puoliintumisajan käyttö
HelppoAineen puoliintumisaika on 8 vuotta ja alkumäärä 1.2 kg. Laske määrä 20 vuoden kuluttua.
- Laske .
- Ratkaise .
- Sijoita kg.
Lääkkeen poistuminen
KeskitasoLääkeannoksen puoliintumisaika on 4 tuntia ja annos on 200 mg. Kuinka paljon lääkettä on verenkierrossa 10 tunnin kuluttua?
- Määritä hajoamisvakio/h.
- Ratkaise malli.
- Laske arvomg.
Parametrin sovitus kahdesta mittauksesta
VaikeaSaasteen määrä on 320 yksikköä ja kahden päivän kuluttua 260 yksikköä. Kuinka monta päivää kuluu, kunnes määrä putoaa alle 100?
- Ratkaise Sijoita : .
- Kirjoita ratkaisu.
- Etsi haluttu aikaRatkaise : päivää.
Esimerkki
Aineen hajoamisvakio on /päivä ja alkumäärä 50 grammaa. Kuinka paljon ainetta on viikon kuluttua?
- Ratkaise .
- Laske grammaa.
- Aineesta on jäljellä noin 22 grammaa viikon jälkeen.
Sovellukset
- Radioaktiivinen hajoaminen: yo-tehtävissä raportoidaan puoliintumisia ja yksiköt (esim. Bq, g).
- Farmakologia: lääkkeen pitoisuus elimistössä ja annosteluvälien suunnittelu.
- Ympäristömallit: saasteen väheneminen luonnollisen hajoamisen tai puhdistuksen seurauksena.
Yleisiä virheitä
Hajoamisvakion etumerkki
Kirjoitetaan ja käytetään positiivista , jolloin ratkaisu kasvaa.
Oikein: Pidä ja kirjoita malli aina muodossa .
Puoliintumisajan kaava unohtuu
Korvataan vahingossa .
Oikein: Muista kantalogi: ja .
Yksikkövirheet
Aika ja hajoamisvakio mitataan eri yksiköissä, mikä johtaa virheeseen.
Oikein: Sovita kaikki ajat samaan yksikköön ennen laskua ja tuo yksiköt esiin vastauksessa.
Usein kysyttyä
- Miten hajoamismalli eroaa kasvumallista?
- Hajoamismallissa kerroin on negatiivinen (), jolloin määrä pienenee. Muuten ratkaisutekniikka on identtinen eksponentiaalisen kasvun kanssa.
- Voiko puoliintumisaika muuttua ajan myötä?
- Perusmallissa ei. Jos puoliintumisaika riippuu olosuhteista, mallia täytyy laajentaa (esim. logistinen hajoaminen).
- Miten varmistan vastauksen järkevyyden?
- Laske muutama puoliintuminen: määrän pitäisi pienentyä geometrisessa suhteessa. Jos määrä kasvaa, etumerkki on väärä.
- Pitääkö ratkaisu kirjoittaa eksakti vai numeerinen?
- Yo-tehtävässä esitä ratkaisun kaava ja lopullinen numeerinen arvo. Pyöristä vasta lopuksi ja ilmoita yksikkö.
Lähteet ja lisämateriaali
- Ylioppilaskokeen tehtävät
Harjoituksia, joissa puoliintumisaika ja yksiköt pisteytetään.