Differentiaaliyhtälöiden sovellukset – värähtelyt
Värähtelymalli kuvaa jaksollista liikettä tasapainoaseman ympärillä. Harmoninen värähtelijä on perusmalli, jota yo-tehtävät, fysiikan sovellukset ja sähköpiirit hyödyntävät.
Kaavat
(harmoninen värähtelijä)
(yleinen ratkaisu)
(vaihe-esitys)
(jousi–massa -järjestelmä)
ja (jaksonaika ja taajuus)
Säännöt
Ratkaise perusmuodossa
Kirjoita ratkaisu . Määritä vakiot alkuehdoista.
Alkuarvojen hyödyntäminen
Käytä määrittämään ja ratkaisemaan . Toisen kertaluvun yhtälö tarvitsee kaksi ehtoa.
Muunnos vaihe-esitykseen
Amplitudi on ja vaihe .
Vaimennus ja pakotus
Jos mallissa on termi (vaimennus) tai (pakotus), tarkista erilliset kaavat tai numeerinen ratkaisu. Perusmalli toimii ilman lisäehtoja.
Esimerkit
Jaksonaika ja taajuus
HelppoJousi–massa -järjestelmässä N/m ja kg. Laske jaksonaika ja taajuus.
- Kulatataajuusrad/s.
- Jaksonaikas.
- TaajuusHz.
Vaihe-esitys annetusta ratkaisusta
KeskitasoFunktio . Määritä amplitudi ja vaihekulma.
- Amplitudi.
- Vaiherad.
- Kirjoita muotoRatkaisu on .
Vaimenetun mallin tulkinta
VaikeaVaimennettu yhtälö ja alkuehdot , . Kirjoita ratkaisu ja arvioi amplitudin käyttäytymistä.
- Tarkista vaimennusKerroin on pieni, joten ratkaisu on ali- vaimennettu.
- RatkaisuSaat muodon .
- TulkintaAmplitudi pienenee eksponentiaalisesti, joten värähtely hiipuu.
Esimerkki
Ratkaise ehdolla ja .
- Kirjoita ratkaisu: .
- Alkuarvo antaa .
- Johda nopeus , joten ja .
- Erityisratkaisu on .
Sovellukset
- Fysiikka: jousi–massa -järjestelmän liike tai heilurin pienet poikkeamat.
- Sähkötekniikka: LC-piirin värähtely yhtälöllä .
- Yo-tehtävä: jaksonaika tai amplitudi pitää raportoida yksiköineen sekä perustella, miten yhtälö johdetaan.
Yleisiä virheitä
Kulmataajuuden ja taajuuden sekoittaminen
Kulmataajuus mitataan radiaaneina sekunnissa, taajuus jaksoina sekunnissa.
Oikein: Kirjoita molemmat: ja .
Alkuehdot käytetään vain osittain
Ratkaisusta puuttuu toinen vakio, jolloin lopputulos on puutteellinen.
Oikein: Derivoi ratkaisu ja käytä sekä että .
Vaiheen laskeminen väärällä etumerkillä
Vaihekulman merkki unohtuu, kun ratkaisu kirjoitetaan kosinin avulla.
Oikein: Muista , jossa .
Usein kysyttyä
- Miten löydän amplitudin?
- Kun ratkaisu on muodossa , amplitudi on .
- Mitä tehdä, jos yhtälössä on vaimennus?
- Kirjoita ratkaisu muotoon , missä , jos .
- Voiko värähtely saavuttaa negatiivisia arvoja?
- Kyllä. Poikkeama voi olla joko ylä- tai alapuolella tasapainoa, ja värähtely tapahtuu näiden välillä.
- Miten varmistan vastauksen oikeellisuuden?
- Derivoi ratkaisu, sijoita yhtälöön ja tarkista, että alkuehdot toteutuvat. Lisäksi arvioi, onko amplitudi ja jaksonaika realistinen annetuilla parametreilla.
Lähteet ja lisämateriaali
- Fysiikan jousi–massa -malli
Lyhyt muistilista, miten yhtälö johdetaan Newtonin 2. lain avulla.
- TIM – Värähtelytehtävät
Harjoituksia, joissa ratkaistaan sekä vaimentamaton että vaimennettu tapaus.