Eksponenttifunktio ja -yhtälöt
Eksponenttifunktio on muotoa , missä kantaluku ja . Funktio on joko kasvava () tai vähenevä (). Eksponenttiyhtälöt ratkaistaan yhtälöllä .
Kaavat
$f(x) = a^x$
Eksponenttifunktion määritelmä. Arvojoukko , .
- Kantaluku ($a>0$, $a\neq 1$)
- Eksponentti (muuttuja)
Kantaluku
Kantaluku on positiivinen, jotta on määritelty kaikilla reaaliluvuilla (esim. ). Ehto tarvitaan, jotta funktio ei ole vakio .
- Kantaluku ($a>0$, $a\neq 1$)
Ominaisuudet
Kulkee pisteen (0,1) kautta; kasvavuus/vähenevyys kantaluvusta. , .
- Määrittelyjoukko $\mathbb{R}$
- Arvojoukko $(0, \infty)$
$a^{f(x)} = a^{g(x)}$
Kun kanta on sama ja , eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, joten vain kun . Yhdenna ensin kantaluvut, sitten aseta eksponentit yhtä suuriksi.
- Kantaluku (sama molemmilla puolilla)
- Eksponenttilausekkeet
Yhtälön ratkaisu
1) Kirjoita molemmat puolet saman kannan potensseina. 2) Aseta eksponentit yhtä suuriksi: . 3) Ratkaise . Jos kanta ei yhdy, käytä logaritmia.
Säännöt
$f(x) = a^x$
f(x) = a^x (a > 0, \; a 1)
Eksponenttifunktion lauseke. Määrittelyjoukko , arvojoukko . Kuvaaja kulkee pisteen kautta.
Kantaluku
a > 0 a 1. a=1 f(x)=1
Kantaluku on positiivinen eikä saa olla 1; muuten funktio ei ole aidosti eksponenttifunktio.
Ominaisuudet
a>1 ; 0<a<1 . D_f=, \; R_f=(0,
Kasvavuus tai vähenevyys riippuu kantaluvusta; arvojoukko on aina positiiviset reaaliluvut.
$a^{f(x)} = a^{g(x)}$
a^{f(x)} = a^{g(x)} f(x) = g(x) (a > 0, \; a 1)
Sama kantaluku: eksponenttifunktio on injektio, joten eksponentit on oltava yhtä suuret.
Yhtälön ratkaisu
. .
Jos molemmat puolet saman kannan potensseina, aseta eksponentit yhtä suuriksi. Muuten käytetään logaritmia.