Logaritmi ja logaritmifunktiot
Logaritmi määritellään eksponenttiyhtälön kautta: (, , ). Logaritmin laskusäännöt (tulo, osamäärä, potenssi) ja logaritmifunktio kuuluvat MAA5:een. Sovelluksissa mallinnetaan ilmiöitä.
Kaavat
Logaritmin määritelmä
Logaritmi on se eksponentti , johon kantaluku pitää korottaa, jotta tulos on . Siis . Kantaluku , ; argumentti .
- Kantaluku ($a>0$, $a\neq 1$)
- Argumentti ($b>0$)
- Logaritmin arvo (eksponentti)
$a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a(b)$
Eksponenttiyhtälössä () tuntematon on eksponentissa. Ratkaisu on logaritmin määritelmän mukaan . Käytä sitä, kun et voi kirjoittaa molempia puolia saman kannan potensseina.
- Kantaluku
- Oikean puolen arvo ($b>0$)
- Tuntematon eksponentti
$\log(ab)$
Tulon logaritmi on logaritmien summa: . Perustuu potenssien kertolaskuun . Vaatimus , .
- Positiiviset luvut
- Kantaluku
$\log(a/b)$
Osamäärän logaritmi on logaritmien erotus: . Perustuu potenssien jakolaskuun . Vaatimus , .
- Positiiviset luvut
- Kantaluku
$\log(a^p)$
Potenssin logaritmi: eksponentti tulee kertoimeksi eteen, . Käytä sieventämiseen tai yhtälön ratkaisuun. Vaatimus .
- Positiivinen luku
- Eksponentti
- Kantaluku
Logaritmifunktio
Eksponenttifunktion käänteisfunktio; , . : kasvava.
- Kantaluku ($a>0$, $a\neq 1$)
- Argumentti (vain $x>0$)
Logaritmiyhtälöt
Ratkaisu määritelmän kautta: ; aina tarkista määrittelyehto .
- Lauseke logaritmin argumentissa (pitää olla $>0$)
- Oikean puolen arvo
Säännöt
Logaritmin määritelmä
b = x a^x = b (a>0, \; a 1, \; b>0)
Logaritmi on se eksponentti , johon pitää korottaa, jotta saadaan .
$a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a(b)$
a^x = b x = b
Eksponenttiyhtälön ja logaritmin välinen vastaavuus: ratkaisu .
$\log(ab)$
= x + y
Tulon logaritmi on logaritmien summa.
$\log(a/b)$
= x - y
Osamäärän logaritmi on logaritmien erotus.
$\log(a^p)$
= p x
Potenssin logaritmi: eksponentti tulee kertoimeksi.
Logaritmifunktio
f(x) = x (x > 0). D_f = (0,, \; R_f =
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio; määrittelyjoukko positiiviset reaalit.
Logaritmiyhtälöt
f(x) = c f(x) = a^c. f(x) > 0.
Logaritmiyhtälö: kirjoita määritelmän mukaan ja tarkista määrittelyehto .
Mallintaminen
Sovellus: tunnista onko kasvu/väheneminen eksponentiaalista; logaritmi auttaa ratkaisemaan eksponenteista.
Sovellus
Käytännön tilanteet joissa tai ; tulkinta ja yksiköt.