Monikulmiot – Kulmasummat ja pinta-alat
Monikulmiot kattavat kolmiot, nelikulmiot ja säännölliset n-kulmioit. Yo-tehtävissä sinun pitää laskea kulmat, pinta-alat ja perustella ominaisuudet kuten yhdensuuntaisuus ja symmetria.
Määritelmä
Monikulmio on suljettu tasokuvio, jonka sivut ovat suoria janoja. Säännöllisessä monikulmiossa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret.Kaavat
Kulmien summa:
Säännöllisen monikulmion sisäkulma:
Puolisuunnikkaan pinta-ala:
Vinoneliön pinta-ala:
Säännöllisen monikulmion pinta-ala: , missä on apoteema ja sivun pituus
Säännöt
Kolmioitava monikulmio
Kulmasumma saadaan jakamalla monikulmio kolmioon
Suunnikkaan ominaisuudet
Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät
Neliö
Kaikki sivut yhtäsuuret ja kulmat ; lävistäjät kohtisuorassa ja yhtä pitkät
Esimerkit
Puolisuunnikkaan pinta-ala yo-tyyliin
HelppoPuolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat 12\,m ja 7\,m, korkeus 4,5\,m. Laske pinta-ala.
- Käytä kaavaa .Keskiarvo yhdensuuntaisista sivuista kerrotaan korkeudella.
- Saat .Yo-kokeessa ilmoita yksikkö, esimerkiksi neliömetriä.
Säännöllisen monikulmion pinta-ala
KeskitasoSäännöllisen kuusikulmion sivu on 5\,cm. Laske pinta-ala käyttämällä kolmiointia.
- Kuusikulmio jakautuu kuuteen tasasivuiseen kolmioon: yhden kolmion kanta 5 ja korkeus .Tasasivuinen kolmio muodostuu, kun yhdistät kaikki kulmat keskustaan.
- Yhden kolmion pinta-ala .Sama kaava kuin kolmion peruskaava.
- Kokonaispinta-ala .Esitä vastauksessa joko tarkka muoto tai likiarvo.
Vinoneliön pinta-ala lävistäjistä
VaikeaVinoneliön lävistäjät ovat 10\,cm ja 16\,cm. Laske pinta-ala ja sivun pituus.
- Pinta-ala: .Lävistäjät jakavat vinoneliön neljään suorakulmaiseen kolmioon.
- Sivu löytyy kolmiosta: .Puolet lävistäjistä muodostaa suorakulmaisen kolmion kateetit.
Esimerkki
Laske säännöllisen kahdeksankulmion sisäkulma.
- .
Sovellukset
- Kaupunkisuunnittelussa alueet kuvataan usein monikulmioina, jolloin pinta-ala ja rajojen kulmat on tunnettava.
- Yo-kokeissa monikulmioita käytetään trigonometria- ja symmetriatehtävissä, esimerkiksi perustelemaan kuvion yhtenevyys.
- Rakennusinsinöörit mitoittavat kattotuolit ja runkorakenteet suunnikkaiden ja vinoneliöiden ominaisuuksien avulla.
Yleisiä virheitä
Kulmien summasta puuttuu kolmioiden lukumäärä
Lasketaan vahingossa eikä .
Oikein: Jaa monikulmio kolmioihin ja muista, että kolmioita on aina kaksi vähemmän kuin sivuja.
Korkeus mitataan väärään reunaan
Suunnikkaissa ja puolisuunnikkaissa korkeus ei ole sivun pituus.
Oikein: Piirrä korkeus kohtisuorana viivana kannasta vastakkaiseen sivuun.
Säännöllisen monikulmion apoteema unohtuu
Pinta-alakaava ei toimi ilman etäisyyttä keskuksesta sivuun.
Oikein: Johda apoteema trigonometrisesti: .
Usein kysyttyä
- Miten todistan, että nelikulmio on suunnikas?
- Riittää, että osoitat vastakkaisten sivujen olevan yhdensuuntaiset tai yhtä pitkät. Voit käyttää vektoreita tai kulma-argumentteja.
- Voiko säännöllinen monikulmio olla olemassa millä tahansa sivumäärällä?
- Kyllä, jokaiselle löytyy säännöllinen monikulmio. Kulmien koko kasvaa, kun sivujen määrä kasvaa.
- Tarvitaanko trigonometriaa monikulmioiden pinta-aloihin?
- Säännöllisissä monikulmioissa apoteema saadaan trigonometrian avulla. Epäsäännölliset voidaan jakaa kolmioihin.
- Miten tarkistan vastauksen järkevyyden?
- Vertaa tulosta äärirajoihin. Esimerkiksi puolisuunnikkaan pinta-ala on aina suurempi kuin pienemmän yhdensuuntaisen sivun kertaa korkeus ja pienempi kuin suuremman sivun kertaa korkeus.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA3 Geometrian tavoitteet – monikulmiot
OPH:n kuvaus siitä, mitä monikulmioista tulee osata yo-valmiuteen.
- Yo 2019S tehtävä 4 – suunnikkaan ominaisuudet
Malliratkaisu, jossa perustellaan yhdensuuntaisuus ja lasketaan pinta-ala.