Vektorit tasossa – Pituus, pistetulo ja projektiot
Tasovektorit kuvaavat liikettä, voimia ja suuntia kahdessa ulottuvuudessa. Hallitset perusoperaatiot, kun osaat laskea summan, pituuden, pistetulon ja projektion.
Määritelmä
Tasovektori kertoo siirtymän oikealle-vasemmalle ja ylös-alas suunnissa. Vektoreita voidaan siirtää rinnakkain muuttamatta suuruutta tai suuntaa.Kaavat
Pituus:
Summa:
Pistetulo:
Kohtisuoruus:
Projektion pituus:
Säännöt
Vektorin siirtosääntö
Vektoria saa siirtää tasossa ilman, että sen suunta tai pituus muuttuu
Yksikkövektorit
ja muodostavat kannan tasovektoreille
Ortogonaalinen kanta
Kaksi yksikkövektoria on ortonormaali, jos ne ovat kohtisuorassa ja pituus on yksi
Esimerkit
Summa ja erotus
HelppoLaske ja summa ja erotus.
- Lisää komponentit erikseen.
- Vähennä komponentit erikseen.
Kohtisuoruus testataan pistetulolla
HelppoOvatko vektorit ja kohtisuorassa?
- Pistetulo .Tuloksen nolla kertoo kohtisuoruudesta.
- Vektorit ovat kohtisuorassa.Kirjoita johtopäätös selkeästi yo-vastaukseen.
Vektorin projektio toisen suuntaan
VaikeaLaske vektorin projektio vektorin suuntaan.
- Pistetulo .Tarvitset pistetulon projektion pituuteen.
- .Muista jakaa pituudella.
- Projektio ja suuntavektori .Varsinainen projektio-vektori on .
Esimerkki
Laske vektorin pituus.
- .
Sovellukset
- Liikeopissa tasovektorit kuvaavat nopeutta ja kiihtyvyyttä, komponentit kertovat suunnitellun liikkeen jokaisen akselin suhteen.
- Yo-tehtävissä vektoreilla todistetaan kohtisuoruus, lasketaan pinta-aloja ja ratkaistaan optimoituja reittejä.
- Fysiikan voima- ja momenttilaskuissa tasovektoreita käytetään voimien jakamiseen kohtisuoriin komponentteihin.
Yleisiä virheitä
Unohdetaan neliöjuuri pituuskaavassa
Pelkkä summattujen neliöiden arvo ei ole pituus.
Oikein: Laske ensin ja ota siitä neliöjuuri.
Pistetulosta saatu negatiivinen arvo tulkitaan kulmaksi suoraan
Kulma pitää ratkaista kosinin avulla, ei pistetulosta sellaisenaan.
Oikein: Laske ja käytä arkussin tai arkkuskosin -funktiota.
Projektiossa jaetaan väärällä pituudella
Projektiossa jaetaan aina sen vektorin pituudella, jonka suuntaan projektio otetaan.
Oikein: Käytä kaavaa .
Usein kysyttyä
- Miten tarkistan, ovatko kaksi vektoria yhdensuuntaiset?
- Jos toinen on toisen monikerta (), ne ovat yhdensuuntaiset. Komponentteihin riittää verrata suhdetta.
- Voinko skaalata vektoria negatiivisella luvulla?
- Kyllä, tällöin vektori kääntyy vastakkaiseen suuntaan mutta pituus muuttuu .
- Mitä hyötyä on projektiosta?
- Projektio kertoo, paljonko yhdestä vektorista suuntautuu toisen vektorin suuntaan. Sitä käytetään esimerkiksi liikkeen jakamiseen komponentteihin.
- Tarvitseeko pistetulossa huomioida kulmayksikkö?
- Ei, pistetulo tuottaa luvun. Kulman laskemisessa käytät arkkuskosin-funktiota ja ilmoitat kulman asteina tai radiaaneina ohjeen mukaan.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA3 Geometria – vektorit tasossa
Kurssiohje, joka määrittelee osaamistason pistetulolle ja projektiolle.
- Yo 2020S tehtävä 5 – vektorien projektiot
Malliratkaisu näyttää, miten perustellaan kohtisuoruus ja projektion käyttö.