Ympyrät ja ympyrän osat – Kehä, pinta-ala ja kaaret
Ympyrä on tasokuvio, jonka jokainen piste on yhtä kaukana keskipisteestä. Yo-tehtävissä tarvitset kehän ja pinta-alan kaavat, osaat muodostaa ympyrän yhtälön ja laskea sektorien pinta-alat.
Määritelmä
Ympyrän säde on etäisyys keskipisteestä kehälle. Halkaisija on kaksi kertaa säde ja suurin mahdollinen jänne.Kaavat
Kehä:
Pinta-ala:
Ympyrän yhtälö:
Sektorin pinta-ala: (radiaaneina)
Kaaren pituus:
Säännöt
Tangentin ominaisuus
Tangentti on kohtisuorassa säteeseen tangenttipisteessä
Jänteen ja keskuskulman suhde
Jännettä vastaava kehän kulma on puolet keskuskulmasta
Yhtälön täydentäminen
Ympyrän yhtälö muutetaan normaalimuotoon täydentämällä neliöt
Esimerkit
Ympyrän yhtälö normaalimuotoon
KeskitasoMuuta normaalimuotoon ja lue keskipiste sekä säde.
- Ryhmittele: .Kerää - ja -termit erikseen.
- Täydennä neliö: .Lisää molemmille puolille sama vakio.
- Keskipiste , säde .Lue suoraan normaalimuodosta.
Sektorin pinta-ala ja kaaren pituus
KeskitasoSäde 5\,cm, keskuskulma 72°. Laske sektorin pinta-ala ja kaaren pituus.
- Muunna radiaaneiksi: .Sektorin kaavat käyttävät radiaaneja.
- Pinta-ala .Käytä radiaanin muotoa.
- Kaaren pituus .Kaaren pituus on säde kertaa kulma radiaaneina.
Tangentin yhtälö
HelppoEtsi tangentin yhtälö ympyrään pisteessä .
- Säde on vektori keskipisteestä pisteeseen: .Keskipiste on , joten säde kulkee ylöspäin.
- Tangentti on kohtisuorassa säteeseen, joten suunta on .Kohtisuoruus tarkoittaa, että tangentti kulkee vaakasuunnassa.
- Tangentin yhtälö .Käytä piste-kallistusmuotoa tai suoraa tulkintaa.
Esimerkki
Laske ympyrän kehä ja pinta-ala, kun säde on 6\,cm.
- ja .
Sovellukset
- Yo-tehtävissä ympyrän yhtälöitä käytetään geometrisen sijainnin kuvaamiseen ja tangenttien kulman laskemiseen.
- Tekniikassa ympyräkaaret ovat osa koneenosien ja siltojen muotoilua; sektorien pinta-alat kertovat materiaalitarpeen.
- Navigoinnissa ympyrä kertoo sijainnin tietyn etäisyyden päässä majakasta tai antennista.
Yleisiä virheitä
Kulmaa ei muuteta radiaaneiksi
Sektorin ja kaaren kaavoissa kulman pitää olla radiaaneissa.
Oikein: Muuta asteet radiaaneiksi kertomalla .
Täydentävä neliö unohtuu
Ympyrän yhtälöstä ei suoraan näe keskipistettä.
Oikein: Lisää ja vähennä sama vakio termien sisällä, jotta saat muodot ja .
Halkaisija ja säde sekoittuvat
Kaavassa käytetty tulkitaan vahingossa halkaisijaksi.
Oikein: Pidä mielessä ja varmista yksiköt ennen laskemista.
Usein kysyttyä
- Miten löydän ympyrän tangentille normaalin?
- Normaali kulkee keskipisteen kautta tangenttipisteeseen ja on siten ympyrän säde.
- Voiko keskuskulman ilmoittaa asteina?
- Voit, mutta sektorin kaavat vaativat radiaaneja. Muunna ennen laskemista.
- Miten todistan, että piste on ympyrällä?
- Sijoita pisteen koordinaatit ympyrän yhtälöön. Jos yhtälö toteutuu, piste on ympyrällä.
- Miten lasken ympyrän sisään piirretyn kolmion pinta-alan?
- Käytä esimerkiksi cord-kulmia tai jaa kolmio sektoreihin ja segmentteihin; vaihtoehtoisesti hyödynnä trigonometriaa.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA3 Geometria – ympyrä ja kaaret
Kurssiohje, jossa määritellään ympyrän kaavat ja tangentin ominaisuudet.
- Yo 2018S tehtävä 6 – sektori ja kaari
Malliratkaisu, joka korostaa radiaaneihin muunnosta.