Integraali numeerisesti – suorakaidesääntö, trapezi ja Simpson
Kun integraalia ei voida laskea analyyttisesti, käytetään numeerisia menetelmiä. Suorakaidesääntö (välisumma) on yksinkertaisin: jaetaan väli osiin ja lasketaan suorakulmioiden pinta-alat. LOPS21 korostaa suorakaidesääntöä. Tarkemmat menetelmät ovat trapezisääntö ja Simpsonin sääntö.
Määritelmä
Suorakaidesääntö (välisumma): jaetaan väli osaan, valitaan jokaisesta osavälistä piste (esim. keskipiste) ja lasketaan suorakulmioiden pinta-alat. Raja-arvo kun on määrätty integraali. Trapezisääntö käyttää puolisuunnikkaita ja Simpsonin sääntö paraabeleja.Kaavat
Välisumma (suorakaidesääntö)
Riemann-summa: jaetaan väli osaan, valitaan jokaisesta osavälistä piste (esim. keskipiste) ja lasketaan suorakulmioiden pinta-alat. Raja-arvo kun on määrätty integraali .
- Osavälien lukumäärä
- Osavälin pituus: $\frac{b-a}{n}$
- Valittu piste k:nnellä osavälillä (esim. keskipiste)
- Välisumma (suorakulmioiden pinta-alojen summa)
Suorakaidesääntö (keskipiste)
Kun on osavälin keskipiste, saadaan keskipistesuorakaidesääntö. Tämä on LOPS21:n korostama menetelmä.
- Osavälin keskipiste: $a + (k-1/2)\Delta x$
Trapezisääntö
Tarkempi kuin suorakaidesääntö: käyttää puolisuunnikkaita funktion arvojen mukaan. Kertoimet: 1, 2, 2, ..., 2, 1.
- Osavälin pituus: $\frac{b-a}{n}$
- Jakopisteet: $x_k = a + kh$
- Trapezisäännön likiarvo
Simpsonin sääntö
Tarkin menetelmä: käyttää paraabeleja. Vaatii parillisen :n. Kertoimet: 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1.
- Osavälin pituus: $\frac{b-a}{n}$ (parillinen $n$)
- Simpsonin säännön likiarvo
Virheanalyysi
Trapezisäännön virhe on suuruusluokkaa , Simpsonin säännön . Suurempi (pienempi ) antaa tarkemman likiarvon.
- Trapezisäännön virhe
- Simpsonin säännön virhe
- Toinen derivaatta
- Neljäs derivaatta
Säännöt
Suorakaidesääntö
Jaa väli osaan; laske suorakulmioiden pinta-alat; mitä suurempi , sitä tarkempi.
LOPS21:n korostama menetelmä: välisumma antaa määrätyn integraalin likiarvon. Jaetaan väli tasavälein, valitaan piste jokaiselta osaväliltä (esim. keskipiste) ja lasketaan suorakulmioiden pinta-alat.
Jaa väli tasavälein
Käytä ja pisteitä .
Osavälien pituus on vakio. Pisteet jakavat välin tasavälein.
Valitse sopiva n
Parillinen Simpsonille; kasvata :ää tarkkuuden parantamiseksi.
Simpsonin sääntö vaatii parillisen :n. Suurempi antaa tarkemman likiarvon, mutta laskenta vaikeutuu.
Kirjaa välivaiheet
Yo-vastauksessa taulukko pisteistä ja funktioarvoista ennen summia.
Yo-kokeessa vaaditaan selkeä raportointi: taulukko pisteistä ja arvoista, sitten summa ja lopulta likiarvo.
Esimerkit
Trapezisääntö neljällä osavälillä
KeskitasoArvioi trapezisäännöllä, kun .
- Laske askelpituusja pisteet .
- Arvioi funktioarvotEsimerkiksi . Kirjoita arvot taulukkoon.
- Sovella kaavaaLaske .
Simpsonin sääntö parillisella jaolla
HelppoArvioi Simpsonin säännöllä, .
- Askelpituus, pisteet .
- RyhmätLaske erikseen parittomat ja parilliset kertoimet: -tekijä pisteille ja -tekijä pisteille .
- Laske likiarvoSaat , joka on tarkka arvo.
Virheen arviointi
KeskitasoKuinka monta trapezia tarvitaan, jotta arvioituu virheellä < 0{,}001?
- Arvioi derivaatta, joten välillä .
- Sovella virherajaa.
- Ratkaise nEhto antaa , joten riittää.
Sovellukset
- Yo-kokeessa numeerinen integraali tarkistaa suljetun lausekkeen järkevyyden ja antaa pisteitä, vaikka tarkkaa ratkaisua ei löydy.
- Tietotekniikassa numeerinen integraatio toimii pohjana pinta-alan, energian tai todennäköisyyden arvioinnille datasta.
- Korkeakoulujen pääsykokeissa vertaillaan eri asteisten menetelmien tarkkuutta ja vaaditaan virheanalyysiä.
Yleisiä virheitä
Unohtunut kerroin
Trapezi- ja Simpson-summissa kerroin tai unohtuu helposti.
Oikein: Pidä kaava näkyvissä ja merkkaa jokaisen pisteen kerroin (1,2,4) taulukkoon.
Parittoman n:n käyttäminen Simpsonissa
Sääntö ei toimi, jos osavälien lukumäärä ei ole parillinen.
Oikein: Valitse aina parillinen tai palaa trapezeihin.
Virheen perustelu puuttuu
Yo-vastauksessa pelkkä likiarvo ei riitä, jos tehtävä kysyy tarkkuutta.
Oikein: Käytä virherajoja tai vakuuta tulos vertaamalla tarkempaan menetelmään (esim. kaksinkertaistettu n).
Usein kysyttyä
- Milloin käytän numeerista menetelmää?
- Kun funktiolla ei ole tunnettua integraalifunktiota tai tehtävä pyytää likiarvoa tietyllä tarkkuudella.
- Miten valitsen osavälien määrän?
- Kasvata :ää, kunnes muutos kahden perättäisen likiarvon välillä on pienempi kuin haluttu toleranssi.
- Saanko käyttää laskimen omia integraalitoimintoja?
- Yo-kokeessa kyllä, mutta sinun on silti raportoitava käytetty menetelmä ja tarkkuus. Tehtävässä voidaan erikseen pyytää trapezia tai Simpsonia.
- Miksi Simpson on tarkempi kuin trapezi?
- Simpson approksimoi funktion paraabelilla (toisen asteen polynomilla), jolloin virhe pienenee neljännen potenssin suhteessa :ään.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – numeeriset menetelmät
LOPS21:n korostamat trapezi- ja Simpson-säännöt sekä virheanalyysi.
- Yo-tehtävät numeerisesta integraalista
YTL:n julkaisut, joissa arvioidaan integraali laskimella ja perustellaan tarkkuus.