Määrätty integraali – kertymä rajojen välillä
Määrätty integraali kuvaa funktion kertymää välillä . Se vastaa pinta-alaa, kokonaismuutosta tai työtä tilanteesta riippuen ja on keskeinen osa yo-kokeen laajoja tehtäviä.
Määritelmä
Jos , määrätystä integraalista saadaan (Analyysin peruslause). Tulos voi olla negatiivinen, jos funktio on -akselin alapuolella.Kaavat
Newton–Leibnizin kaava (Analyysin peruslause)
Newton–Leibnizin kaava (Analyysin peruslause) laskee määrätyn integraalin sijoittamalla rajat integraalifunktioon. Tulos on luku (kertymä välillä ). Tämä on keskeinen tulos, joka yhdistää derivaatan ja integraalin: jos , niin määrätty integraali on yksinkertaisesti . Vakio kumoutuu, joten sitä ei tarvita määrätyssä integraalissa.
- Integroitava funktio
- Integraalifunktio (funktio, jolle $F'(x) = f(x)$)
- Alaraja (integroinnin aloituspiste)
- Yläraja (integroinnin loppupiste)
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
- Integraalifunktion arvo ylärajalla
- Integraalifunktion arvo alarajalla
Rajojen vaihto
Jos integrointirajat vaihdetaan keskenään, integraalin merkki muuttuu. Tämä tulee Analyysin peruslauseesta: ja . Käytännössä tämä tarkoittaa, että jos yläraja on pienempi kuin alaraja, integraali on negatiivinen.
- Rajat (yleensä $a < b$)
- Integroitava funktio
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
- Etumerkin vaihto (rajat vaihdettu keskenään)
Välin jakaminen
Integraali voidaan jakaa osiin: integraali kokonaisvälillä on osavälien ja integraalien summa. Tämä tulee Analyysin peruslauseesta: . Tämä on hyödyllinen, kun funktio vaihtaa merkkiä välillä tai kun haluat laskea integraalin osissa.
- Rajat (yleensä $a < b < c$)
- Integroitava funktio
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
Pinta-ala itseisarvolla
Pinta-ala lasketaan itseisarvolla, jotta tulos on aina positiivinen, vaikka funktio vaihtaisi merkkiä välillä . Määrätty integraali voi olla negatiivinen (kertymä), mutta pinta-ala on aina positiivinen. Jos funktio vaihtaa merkkiä, jaa väli osiin nollakohtien mukaan ja laske jokaisen osan pinta-ala erikseen.
- Pinta-ala (aina positiivinen)
- Funktio
- Funktion itseisarvo (varmistaa positiivisen pinta-alan)
- Rajat (välin päätepisteet)
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
Funktion keskiarvo
Funktion keskiarvo välillä on integraali jaettuna välin pituudella. Tämä on keskiarvoarvolauseen mukaista: on olemassa piste , jossa . Keskiarvo on vaakasuora viiva, joka jakaa varjostetun alueen kahteen yhtä suureen osaan. Käytännössä tämä mittaa funktion "tyypillistä" arvoa välillä.
- Funktion keskiarvo välillä $[a,b]$
- Funktio
- Rajat (välin päätepisteet)
- Välin pituus
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
- Määrätty integraali (kertymä välillä $[a,b]$)
Säännöt
Lineaarisuus
Vakiot ja summat käyttäytyvät kuten epämääräisessäkin integraalissa.
Rajojen vaihto
Jos integrointirajat vaihdetaan keskenään, integraalin merkki muuttuu.
Sijoitusmääräys
Muista muuttaa rajat uuden muuttujan mukaisiksi! , .
Osittaisintegrointi
Osittaisintegrointi toimii myös määrätyssä integraalissa. Muista sijoittaa rajat termiin .
Symmetria
, jos on pariton; , jos on parillinen
Parittomien funktioiden integraali symmetrisellä välillä on nolla. Parillisten funktioiden integraali on kaksinkertainen puolikkaan integraaliin verrattuna.
Analyysin peruslause
, missä
Analyysin peruslause (Newton–Leibnizin kaava) yhdistää määrätyn integraalin integraalifunktioon. Tämä on keskeinen tulos integraalilaskennassa.
Esimerkit
Peruslasku polynomille
HelppoLaske .
- Etsi integraalifunktioPotenssisäännöllä integraalifunktio on .
- Sijoita rajatLaske .
Keskiarvo määrätyllä integraalilla
KeskitasoLaske funktion keskiarvo välillä .
- Integroi funktio.
- Jaa välin pituudellaKeskiarvo on .
Pinta-ala merkinvaihdon kanssa
VaikeaLaske pinta-ala, jonka rajaa ja -akseli välillä .
- Jaa väli nollakohtien mukaanFunktio on nolla pisteissä . Välillä funktio on negatiivinen.
- Laske integraalin itseisarvoPinta-ala on .
- Tulkitse tulosPinta-ala on yksikköä², vaikka integraali ilman itseisarvoa olisi negatiivinen.
Esimerkki
Laske ().
- Integraalifunktio: (potenssi ja käänteisluku).
- Newton–Leibniz: .
- Vastaus: .
Sovellukset
- Yo-kokeessa määrätty integraali mittaa usein pinta-alaa tai kokonaismuutosta; tarkista kevään 2023 pitkän matematiikan B-osa, tehtävä 9.
- Fysiikassa työn laskeminen muuttuvan voiman tapauksessa: .
- Tilastollisissa malleissa määrätty integraali antaa odotusarvon jatkuvalle satunnaismuuttujalle: .
Yleisiä virheitä
Ylä- ja alarajan järjestys vaihtuu
Jos rajat menevät väärinpäin, tulos saa väärän etumerkin.
Oikein: Muista aina . Merkkivirheen huomaa usein graafista tulkinnasta.
Sijoitusmenetelmässä rajat jäävät muuttamatta
Uuden muuttujan rajat on johdettava samasta muunnoksesta.
Oikein: Jos , laske samalla ja tai palaa lopuksi alkuperäiseen muuttujaan.
Pinta-alan ja kertymän sekoittaminen
Integraali voi olla negatiivinen, vaikka pinta-ala on aina positiivinen.
Oikein: Käytä itseisarvoa tai jaa väli osiin, jos kokonaisuus koostuu useista alueista.
Usein kysyttyä
- Miksi määrätty integraali voi olla negatiivinen?
- Jos funktio on -akselin alapuolella, kertymä pienenee. Negatiivinen arvo kertoo suunnasta, kun taas pinta-ala saadaan itseisarvolla.
- Miten keskimääräinen arvo lasketaan integraalilla?
- Keskimääräinen arvo välillä saadaan kaavalla . Tämä on hyödyllinen esimerkiksi lämpötilojen tai nopeuksien analyysissa.
- Mitkä yo-tehtävät liittyvät määrättyyn integraaliin?
- Viime vuosien yo-kokeissa on vähintään yksi tehtävä, jossa määrätään pinta-ala tai kokonaisarvo integraalin avulla. Harjoittele erityisesti tehtäviä, joissa funktio vaihtaa merkkiä.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – kurssirunko
Kurssikuvaus, jossa määritellään määrätyn integraalin tavoitteet ja yo-yhteydet.
- Yo-tehtäviä määrätyistä integraaleista
Ylioppilastutkintolautakunnan kokoama tehtäväpaketti määrätyistä integraaleista ja malliratkaisuista.