Osamäärän integrointi
Osamäärän integrointi tarkoittaa jakolaskumuotoisten funktioiden integroimista. Osamäärät integroidaan pääsääntöisesti potenssifunktion integraalikaavalla; ne jakautuvat usein kahteen haaraan. Poikkeustapaus on, kun nimittäjässä on ensimmäinen potenssi: silloin tulos on luonnollinen logaritmi. Tällä sivulla opit valitsemaan oikean kaavan, käyttämään itseisarvoja ja käsittelemään määrittelyjoukon.
Määritelmä
Osamäärän integrointi tarkoittaa muotoa olevien funktioiden integroimista. Menetelmä valitaan nimittäjän perusteella:1. Nimittäjä , kirjoita ja käytä potenssin integraalikaavaa .
2. Nimittäjä (ensimmäinen potenssi) (logaritmikaava).
3. Nimittäjä on funktio ja osoittajassa on sen derivaatta (yleinen logaritmikaava).
Kaavat
Kertoimen erotus
Vakio voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle.
Käyttö osamäärässä:
• Osoittajassa vakio: vedä se ulos.
• Nimittäjä : tarvitaan kerroin oikeaksi ennen -kaavaa.
Käyttö osamäärässä:
• Osoittajassa vakio: vedä se ulos.
• Nimittäjä : tarvitaan kerroin oikeaksi ennen -kaavaa.
- Vakio (ei riipu $x$:stä)
- Integroitava funktio
Osamäärä potenssikaavalla
Kun nimittäjä on ja (eli eksponentti potenssimerkinnässä), kirjoita ja käytä potenssin integraalikaavaa.
Erityisesti:
Erityisesti:
- Nimittäjän eksponentti; $n \neq 1$ (potenssikaava ei sovellu kun $n=1$)
Käänteisluvun integraali (logaritmi)
Ainoa potenssi, jolla potenssikaava ei toimi, on .
Sen integraali on luonnollinen logaritmi:
Itseisarvo tarvitaan, jotta tulos on määritelty myös kun .
Sen integraali on luonnollinen logaritmi:
Itseisarvo tarvitaan, jotta tulos on määritelty myös kun .
- Luonnollinen logaritmi (kantaluku $e$)
- Itseisarvo; integraali määritelty kun $x \neq 0$
Yleinen logaritmikaava ($f'/f$)
Nimittäjä on funktio , osoittaja on sen derivaatta integraali on .
Perustelu ketjusäännöstä:
Jos osoittajassa on vain vakio kertaa , vedä vakio ulos.
Perustelu ketjusäännöstä:
Jos osoittajassa on vain vakio kertaa , vedä vakio ulos.
- Nimittäjässä oleva funktio
- Osoittajassa oleva derivaatta (täsmälleen tai vakio kertaa)
Säännöt
Kertoimen erotus
k f(x)\,dx = k f(x)\,dx
Vakio voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle.
Käytä kun osoittajassa on luku tai nimittäjä on (kerroin oikeaksi ennen ).
Käytä kun osoittajassa on luku tai nimittäjä on (kerroin oikeaksi ennen ).
Päätössääntö: mikä kaava?
(1) Nimittäjä , potenssikaava.
(2) Nimittäjä .
(3) Nimittäjä , osoittajassa .
(2) Nimittäjä .
(3) Nimittäjä , osoittajassa .
Itseisarvo logaritmin sisällä
f(x)
Logaritmi on määritelty vain kun .
Itseisarvo varmistaa määrittelyjoukon myös negatiivisilla .
Itseisarvo varmistaa määrittelyjoukon myös negatiivisilla .
Osoittajassa täytyy olla derivaatta
\,dx = + C
Kaava pätee vain kun osoittaja on (vakio kertaa) nimittäjän derivaatta. Muuten tarvitaan sijoitus tai muokkaus.
Paloittain määritelty ja nollakohdat
Nollakohdat pois määrittelyjoukosta. Vastaus usein paloittain: sama lauseke eri väleillä, vakio voi olla eri kullakin välillä.
Esimerkit
Perus: Potenssikaava 1/x²
HelppoLaske ().
- Kirjoita potenssina. Nimittäjä on toinen potenssi (), joten käytämme potenssikaavaa.
- Potenssin integraali.
Perus: Logaritmi 1/x
HelppoLaske .
- Nimittäjä on (ensimmäinen potenssi)Tämä on erikoistapaus: potenssikaava ei toimi, vaan tulos on logaritmi.
- Kaava, . Itseisarvo varmistaa määrittelyjoukon myös negatiivisilla .
Perus: Vakio kertaa 1/x
HelppoLaske ().
- Siirrä vakio ulos.
- Logaritmikaava.
Syventävä: Yleinen f'/f
KeskitasoLaske .
- Tunnista ja Nimittäjä , derivaatta = osoittaja. Osoittaja on siis nimittäjän derivaatta.
- Logaritmikaava(itseisarvo voidaan jättää pois, koska ).
Syventävä: Tangentin integraali
KeskitasoLaske (välillä jossa ).
- Tunnista ja Nimittäjä , derivaatta . Osoittajassa on , joten .
- Logaritmikaava.
Syventävä: Tarkista derivoimalla
KeskitasoOsoita derivoimalla, että on oikein.
- Kun .
- Kun , joten . Siis molemmilla puolilla .
Soveltava: Paloittain – 1/(2x+1)
VaikeaLaske ja huomioi määrittelyjoukko.
- Nimittäjän nollakohta. Integraali määritelty kun .
- Sisäfunktion derivaattaNimittäjä , . Tarvitaan kertoimen 2 osoittajaan: .
- PaloittainVastaus pätee sekä kun että ; vakio voi olla kullakin välillä eri.
Esimerkki
Integroi ja , ja tarkista toinen derivoimalla.
- Ensimmäinen: nimittäjä on , joten , .
- Toinen: nimittäjä , osoittaja . Siis (itseisarvo voidaan jättää pois, koska ).
- Tarkistus: . OK.
Sovellukset
- Yo-tehtävissä osamäärän integrointi esiintyy rationaalifunktioiden ja logaritmien yhteydessä.
- Fysiikassa ja kemiassa muutosnopeus on usein muotoa y/x; integrointi johtaa logaritmiin.
Yleisiä virheitä
Unohdetaan itseisarvo
Ilman itsearvoa on määritelty vain kun .
Oikein: Kirjoita kun integroidaan tai , jotta tulos on oikein myös negatiivisilla arvoilla.
Sekoitus potenssi- ja logaritmikaavaan
integroidaan potenssikaavalla (), ei logaritmilla.
Oikein: Jos nimittäjä on ja , käytä potenssikaavaa. Vain (ensimmäinen potenssi) antaa .
Usein kysyttyä
- Milloin käytän potenssikaavaa ja milloin logaritmikaavaa osamäärässä?
- Jos nimittäjä on ja , kirjoita ja käytä potenssin integraalia. Jos nimittäjä on (ensimmäinen potenssi) tai yleisemmin ja osoittajassa on , käytä tai .
- Miksi logaritmin sisällä on itseisarvo?
- Jotta integraalifunktio on määritelty samassa joukossa kuin integrandi. Kun , ei ole määritelty, mutta on.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraalifunktio
Opetussuunnitelman kuvaus integraalifunktiosta ja perusintegraaleista.