Osamurtokehitelmä – rationaalifunktion pilkkominen
Osamurtokehitelmä hajottaa rationaalifunktion yksinkertaisiin murtoihin, joiden integraalit tunnetaan. Menetelmä on välttämätön yo-tehtävissä, joissa polynomien osamäärä pitää integroida käsin.
Määritelmä
Jos ja , voidaan funktio kirjoittaa summana . Tämän jälkeen integraali lasketaan termi kerrallaan.Kaavat
(kun )
Säännöt
Supista asteet
Jos P Q, jaa polynomilla ensin.
Lineaarinen tekijä
Tekijälle tarvitaan termit .
Irreduktoitu neliö
Tekijälle lisää termi .
Esimerkit
Erotus neliöistä
HelppoLaske .
- Hajota tekijöihin.
- Ratkaise kertoimet.
- IntegroiTulokseksi .
Toistuva lineaarinen tekijä
KeskitasoLaske .
- Kirjoita kehittymä.
- Integroi termitSaat .
- YksinkertaistaVoit yhdistää logaritmit: .
Neliömuotoinen tekijä
VaikeaLaske .
- Täydennä neliö.
- Jaa termit, joten integraali jakautuu logaritmi- ja arctan-osaan.
- Laskeja .
Sovellukset
- Yo-kokeessa rationaalifunktioiden integraalit ratkaistaan lähes aina osamurtokehitelmän avulla.
- Differentiaaliyhtälöt, joiden ratkaisu sisältää rationaalifunktion, vaativat usein osamurtoihin pilkkomista.
- Sähkötekniikan siirtofunktioiden aikatasoratkaisut johdetaan osamurtokehitelmällä.
Yleisiä virheitä
Polynomin jako puuttuu
Jos osoittajan aste on suuri, osamurtojen ratkaisu ei onnistu.
Oikein: Suorita aina pitkä jako tai synteettinen jako ennen hajotusta, kun .
Unohdettu termi toistuvalle tekijälle
Pelkkä ei riitä tekijälle .
Oikein: Sisällytä jokainen potenssi erilliseksi termiksi ja ratkaise kaikki kertoimet.
Virhe kertomien ratkaisemissa
Kertoimet jäävät määrittelemättä tai ne ratkaistaan vain osittain.
Oikein: Kerro yhtälö nimittäjällä ja käytä joko sopivia sijoituksia tai kerrointen vertaamista.
Usein kysyttyä
- Milloin teen ensin polynomijaon?
- Aina kun osoittajan aste on vähintään sama kuin nimittäjän. Muuten osamurtokehitelmä ei toimi.
- Kuinka monta kerrointa tarvitaan?
- Jokaiselle lineaariselle tekijälle yksi kerroin per potenssi, ja jokaiselle irreduktoidulle neliölle termi .
- Miten kertoimet ratkaistaan tehokkaimmin?
- Kerro yhtälö nimittäjällä ja käytä juurisijoituksia sekä kerrointen vertaamista. CAS-laskin voi toimia tarkistuksena, mutta perustelut pitää kirjoittaa.
- Mitä teen neliömuotoisen tekijän kanssa?
- Täydennä neliö ja käytä sijoitusta tai arctan-integraalia riippuen osoittajan muodosta.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – osamurtokehitelmät
LOPS21:n ohjeistus rationaalifunktioiden hajoittamisesta ja integroinnista.
- Yo-tehtävät: osamurtokehitelmä
YTL:n julkaisut rationaalifunktioiden integraaleista ja malliratkaisuista.