Osittaisintegrointi – tulon derivoimissäännön käänteinen
Osittaisintegrointi soveltuu, kun integrandi on kahden funktion tulo. Menetelmä perustuu tulon derivoimissääntöön ja auttaa purkamaan polynomi–eksponentti-, logaritmi- ja trigonometrisia yhdistelmiä.
Määritelmä
Kaavasta saadaan . Valitse derivoitavaksi ja integroitavaksi niin, että jäljelle jäävä integraali helpottuu.Kaavat
Osittaisintegrointikaava
Osittaisintegrointi muuttaa integraalin toiseen muotoon. Menetelmä perustuu tulon derivoimissääntöön , josta saadaan . Toimii kun toinen osa helpottuu derivoimalla ja toinen on helppo integroida. Valitse funktiosta, joka yksinkertaistuu derivoituna (esim. polynomi, logaritmi).
- Derivoitava funktio (valitse funktio, joka yksinkertaistuu derivoituna)
- $u$:n derivaatta ($du = u'\,dx$)
- Integroitava osa (valitse funktio, joka on helppo integroida)
- $dv$:n integraali ($v = \int dv$)
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
Vaihtoehtoinen merkintä
Sama osittaisintegrointikaava funktioilla ja . Tässä merkinnässä on derivoitava osa (vastaa :ta) ja on integroitava osa (vastaa :tä). Kaava tulee tulon derivoimissäännöstä: , josta integroimalla saadaan tämä muoto.
- Derivoituva osa (vastaa $u$:ta, valitse funktio joka yksinkertaistuu derivoituna)
- $f$:n derivaatta
- Integroitava osa (vastaa $dv$:tä, valitse funktio joka on helppo integroida)
- $g'$:n integraali ($g(x) = \int g'(x)\,dx$)
- Differentiaali (merkintä integrointimuuttujasta)
LIATE-järjestys
Heuristiikka :n valintaan osittaisintegroinnissa. Valitse funktiosta, joka on järjestyksessä mahdollisimman korkealla.
- Logarithmic (logaritmi, esim. $\ln x$)
- Inverse trig (käänteistrigonometrinen, esim. $\arcsin x$)
- Algebraic (polynomi, esim. $x$, $x^2$)
- Trigonometric (trigonometrinen, esim. $\sin x$, $\cos x$)
- Exponential (eksponentti, esim. $e^x$)
Säännöt
Valitse u LIATE-järjestyksen mukaan
Aloita funktiosta, joka yksinkertaistuu derivoituna.
Logaritmit (L) ja käänteiset (I) ensin :ksi. Polynomit (A) :ksi ennen eksponentteja (E).
Toistuva osittaisintegrointi
Jos on edelleen tulo, toista menetelmä.
Joskus (esim. ) tarvitaan kaksi kierrosta, jotta polynomi häviää.
Yhtälömenetelmä
Kun integraali palaa itseensä, siirrä termi toiselle puolelle ja ratkaise.
Joissakin tapauksissa (esim. ) osittaisintegrointi palauttaa alkuperäisen integraalin. Tällöin muodostuu yhtälö, joka ratkaistaan.
Esimerkit
Polynomi ja eksponentti
HelppoLaske .
- Aseta , Silloin ja .
- Sovella kaavaaSaat .
- Integroi jäljellä oleva termiTulokseksi .
Logaritmi ja polynomi
KeskitasoLaske .
- Valitse , Logaritmi derivoituu yksinkertaisemmaksi.
- Laske ja Integroi polynomi.
- Sovella kaavaa.
Eksponentti ja sini
VaikeaLaske .
- Ensimmäinen osittaisintegrointiAseta , .
- Toinen osittaisintegrointiAseta , ja saat .
- Ratkaise yhtälöSiirtämällä integraali toiselle puolelle saadaan .
Esimerkki
Laske ().
- Valitse ja (LIATE: L ennen A). Silloin ja .
- Kaava: .
- Tarkista derivoimalla: .
Sovellukset
- Yo-tehtävissä osittaisintegrointi yhdistyy usein polynomin ja trigonometrisen tai eksponentiaalisen funktion tuloon.
- Fysiikassa menetelmällä voidaan johtaa työ- ja energiaformuloita, kun funktio kerrotaan ajan tai paikan suhteen muuttuvalla tekijällä.
- Todennäköisyyslaskennassa momenttien laskeminen tiheysfunktiosta onnistuu usein osittaisintegroimalla.
Yleisiä virheitä
Väärä u-valinta
Jos ei yksinkertaistu derivoituna, jäljelle jäävä integraali vaikeutuu.
Oikein: Noudata LIATE-heuristiikkaa ja valitse funktiosta, joka lyhenee derivoitaessa.
Merkkivirhe kaavassa
Miinus vaihtuu plus-merkiksi ja tulos kasvaa väärin.
Oikein: Kirjoita kaava joka kerta näkyviin: .
Integroimisvakio unohtuu
Ratkaisusta puuttuu kokonainen ratkaisuavaruus.
Oikein: Lisää heti, kun integraali muuttuu epämääräiseksi.
Usein kysyttyä
- Milloin valitsen osittaisintegroinnin?
- Kun integrandissa on funktioiden tulo ja sijoitusmenetelmä ei yksinkertaista sitä.
- Miten valitsen ja ?
- Valitse funktiosta, joka lyhenee derivoitaessa (esim. polynomi, logaritmi). Loput kerrotaan :ksi.
- Miksi integraali ilmestyy takaisin yhtälöön?
- Joissakin tehtävissä kaava palauttaa alkuperäisen integraalin. Tällöin muodostuu yhtälö, joka ratkaistaan siirtämällä integraalit samalle puolelle.
- Tarvitaanko osittaisintegrointia yo-kokeessa?
- Kyllä – viime vuosien kokeissa on usein ollut tehtävä, jossa tulon integrointi ratkaistaan tällä menetelmällä.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – osittaisintegrointi
Opetussuunnitelman kuvaus tulon integroimisesta ja LIATE-säännön harjoittelusta.
- Yo-tehtävät osittaisintegroinnista
YTL:n valikoima tehtäviä, joissa vaaditaan kaavan soveltamista.