Sijoitusmenetelmä – muuttujanvaihto integraalissa
Sijoitusmenetelmässä valitaan uusi muuttuja , jotta integraali yksinkertaistuu. Menetelmä toimii ketjusäännön käänteisenä versiona ja on yo-tehtävien perusmenetelmä, kun integrandi on yhdistetty funktio.
Määritelmä
Kun ja , pätee . Määrätyssä integraalissa rajat muutetaan muotoon ja .Kaavat
Sijoituskaava
Sijoitusmenetelmä (muuttujanvaihto) korvaa sisäfunktion uudella muuttujalla . Integrandi yksinkertaistuu, jos on kertoimena. Tämä on ketjusäännön käänteinen: derivoimalla saadaan , joten integroimalla tarvitaan kertoimena.
- Ulkofunktio
- Sisäfunktio (korvataan muuttujalla $u$)
- Sisäfunktion derivaatta (täytyy esiintyä kertoimena)
- Differentiaali alkuperäisessä muuttujassa
- Uusi muuttuja ($u = g(x)$)
- Differentiaali uudessa muuttujassa ($du = g'(x)\,dx$)
Differentiaalin muunnos
Differentiaalin muunnos: laske :n derivaatta :n suhteen ja kerro :llä. Tämä antaa . Ratkaise tarvittaessa: . Tämä on välttämätön vaihe, jotta kaikki :t korvataan :lla.
- Uusi muuttuja ($u = g(x)$)
- Sisäfunktio
- Sisäfunktion derivaatta $x$:n suhteen
- Differentiaali alkuperäisessä muuttujassa
- Differentiaali uudessa muuttujassa
Määrätty integraali sijoituksella
Määrätyssä integraalissa rajat muuttuvat sijoituksessa: alaraja muuttuu :ksi ja yläraja muuttuu :ksi. Näin voit pysyä -muuttujassa koko laskun ajan ilman takaisin-sijoitusta. Tämä on tehokkaampi kuin palauttaa takaisin :ksi.
- Alkuperäiset rajat $x$-muuttujassa
- Ulkofunktio
- Sisäfunktio (korvataan $u$:lla)
- Sisäfunktion derivaatta (täytyy esiintyä kertoimena)
- Differentiaali alkuperäisessä muuttujassa
- Uusi alaraja $u$-muuttujassa
- Uusi yläraja $u$-muuttujassa
- Uusi muuttuja ($u = g(x)$)
- Differentiaali uudessa muuttujassa
Säännöt
Valitse sopiva u
Etsi sisäfunktio, jonka derivaatta esiintyy integrandissa.
Yleisiä valintoja: sulkujen sisus, eksponentti, juurrettava tai nimittäjä.
Muuta differentiaali
Kirjoita ja korvaa kaikki -termien esiintymät.
Tavoite on saada kaikki x:t supistumaan pois. Jos x jää jäljelle, kokeile toista u:ta.
Määrätyt integraalit
Laske u-rajoiksi ja , jotta sinun ei tarvitse palata x-muuttujaan.
Määrätyssä integraalissa muuta rajat heti u-muuttujaan, jotta voit pysyä uudessa muuttujassa koko laskun ajan.
Esimerkit
Lineaarinen sijoitus
HelppoLaske .
- Valitse Tällöin ja .
- Korvaa integraaliSaat .
- Integroi ja palautaTuloksena .
Logaritmin johtaminen
KeskitasoLaske .
- Aseta Tällöin ja koko osoittaja vaihtuu muotoon .
- Kirjoita integraali uudessa muuttujassaSaat .
- Palauta tulosLopputulos on .
Määrätty integraali
KeskitasoLaske .
- Valitse Tällöin ja .
- Muunna rajatKun , ; kun , .
- IntegroiSaat .
Trigonometrinen potenssi
VaikeaLaske .
- Valitse Tällöin , joten korvautuu :lla.
- KorvaaIntegraali on .
- PalautaVastaus: .
Esimerkki
Laske .
- Valitse , jolloin eli .
- Sijoitus: .
- Tarkista: derivoi tulos ja varmista, että saat .
Sovellukset
- Yo-tehtävissä muuttujanvaihdolla ratkaistaan eksponenttien ja trigonometriaan liittyvät integraalit, joissa esiintyy funktio ja sen derivaatta.
- Fysiikassa sijoitusmenetelmä helpottaa työn ja energian laskemista, kun voima on funktio paikasta, esimerkiksi .
- Todennäköisyyslaskennassa menetelmällä muokataan tiheysfunktioita ja kumulatiivisia jakaumia analysoitavaan muotoon.
Yleisiä virheitä
Rajat jäävät muuttamatta
Määrätyssä integraalissa alkuperäiset x-rajat eivät enää päde u-muuttujalle.
Oikein: Laske aina u-rajat ja pysy uudessa muuttujassa koko laskun ajan.
Unohtunut kertoja
Sisäfunktion derivaatta ei näy kokonaan integrandissa, jolloin tulos saa väärän kertoimen.
Oikein: Kerro ja jaa tarvittaessa puuttuvalla vakiolla ennen muuttujanvaihtoa.
Palautus unohtuu
Epämääräinen integraali jätetään muotoon ilman takaisin-sijoitusta.
Oikein: Korvaa lopussa , jotta vastaus on alkuperäisessä muuttujassa.
Usein kysyttyä
- Milloin sijoitusmenetelmä toimii parhaiten?
- Kun integrandissa on funktio ja sen derivaatta tai kun voit paketoida monimutkaisen ilmaisun yhdeksi muuttujaksi.
- Voinko käyttää sijoitusmenetelmää useita kertoja peräkkäin?
- Kyllä. Joissakin tehtävissä tarvitaan toinen muuttujanvaihto tai alkuperäisen muuttujan palautus ennen uutta valintaa.
- Miten tarkistan ratkaisun?
- Derivoi tulos alkuperäisen muuttujan suhteen ja varmista, että päädyt alkuperäiseen integrandiin. Määrätyssä integraalissa voit lisäksi laskea tuloksen numerisesti.
- Miten valitsen :n?
- Kokeile ensin sisäfunktiota, joka tekee potenssista, eksponentista tai trigonometrisesta funktiosta yksinkertaisen. Jos derivaatta ei ilmesty, harkitse toista valintaa.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – muuttujanvaihto
LOPS21-ohjeistus sijoitusmenetelmän tavoitteista ja arvioinnista.
- Yo-tehtävien kooste sijoitusmenetelmästä
YTL:n materiaali, jossa muuttujanvaihto esiintyy B-osan tehtävissä.