Pyörähdyskappaleiden sovelluksia – yo-tehtävistä valmistukseen
Pyörähdyskappaleiden tilavuus ja pinta-ala lasketaan integraalin avulla. Sovellukset ulottuvat säiliöiden mitoituksesta 3D-tulostuksen materiaalin arviointiin.
Määritelmä
Pyörähdyskappale syntyy, kun tasokuvio pyörähtää akselin ympäri. Tilavuus lasketaan kiekko-, rengas- tai sylinterikuorimenetelmällä. Pinta-alassa käytetään kaavaa .Kaavat
Tilavuus: kiekkomenetelmä
Pyörähdyskappale saadaan pyörittämällä käyrä y = f(x) x-akselin ympäri. Jokainen pystysuora leikkaus on ympyrä, jonka säde on f(x).
- käyrän arvo = leikkauskiekon säde
- integroimisrajat
Tilavuus: sylinterikuorimenetelmä
Kuorimenetelmässä kappale jaetaan ohuiksi sylinterikuoriksi. Säde r(x) on etäisyys pyörähdysakselista ja h(x) on kuoren korkeus.
- etäisyys pyörähdysakselista
- kuoren korkeus
Pyörähdyspinta-ala
Pyörähdyspinta-ala syntyy kun käyrä y = f(x) pyörähtää x-akselin ympäri. Kaavassa esiintyy kaaren pituuden tekijä ²).
- käyrän arvo = etäisyys akselista
- käyrän derivaatta
Säännöt
Tunnista rajat
Ratkaise käyrien leikkauspisteet ja akselin etäisyys.
Leikkauspisteet määräävät integrointirajat. Tarkista myös akselin sijainti säteen laskemista varten.
Valitse menetelmä
Jos säde riippuu yhdestä funktiosta, käytä kiekkoja; jos korkeus on helppo ilmaista, käytä kuoria.
Kiekkomenetelmä toimii kun säde riippuu helposti x:stä. Kuorimenetelmä toimii kun korkeus on helppo ilmaista.
Pinta-ala vs. tilavuus
Pinta-alassa tarvitaan derivaattaa , tilavuudessa riittää säde tai korkeus.
Pyörähdyspinta-alan kaava vaatii derivaatan kaavassa . Tilavuudessa derivaattaa ei tarvita.
Esimerkit
Bensatankin optimointi
KeskitasoSäiliö muodostuu pyörittämällä , -akselin ympäri. Laske tilavuus.
- SädeSäde on .
- Integraali.
- LaskeSymmetrian vuoksi litraa.
Pylvään pinta-ala
VaikeaFunktio pyörähtää -akselin ympäri välillä . Laske pyörähdyspinta-ala.
- Derivoi.
- Integraali.
- ArvioiSijoita laskimeen tai käytä korotuksia; tulokseksi noin .
3D-tulosteen materiaalimäärä
KeskitasoRunko koostuu kahdesta pyörähdyskartiosta: (0 x 2) ja (0 x 2) pyörivät -akselin ympäri. Paljonko materiaalia tarvitaan?
- Korkeus kuorilleKuoren korkeus ensimmäisessä osassa ja toisessa.
- Kaksi integraalia.
- LaskeMateriaalimäärä .
Sovellukset
- Yo-tehtävissä pyörähdyskappale esiintyy usein osana laajaa optimointia.
- Teollisuudessa säiliöiden ja putkien tilavuus suunnitellaan pyörähdysprofiilien avulla.
- 3D-mallinnuksessa rajoitettu materiaali- tai kustannusbudjetti määritellään integraalilla.
Yleisiä virheitä
Unohdetaan pinta-alan kaavan neliöjuuri
Pyörähdyspinta-alassa neliöjuuren termi jää pois.
Oikein: Kirjoita aina näkyviin ennen integrointia.
Välin symmetriaa ei hyödynnetä
Integraali lasketaan kahdesti, vaikka funktio on parillinen.
Oikein: Jos profiili on symmetrinen, kerro tulos kahdella ja puolita laskutyö.
Akseli väärä
Säde mitataan kuvion reunasta eikä akselista.
Oikein: Merkitse akseli piirtämällä ja varmista etäisyys ennen laskua.
Usein kysyttyä
- Miten huomaan, että pinta-ala pitää laskea?
- Jos materiaalin kulutus riippuu pinnasta eikä tilavuudesta, käytä pyörähdyspinta-alan kaavaa.
- Tarvitaanko aina kahta integraalia?
- Vain jos profiili tai akseli muuttuu välin sisällä. Muussa tapauksessa riittää yksi integraali.
- Voinko käyttää geometrista kaavaa?
- Jos kappale on suoraan kartio, lieriö tai pallo, kyllä. Muuten integraali perustelee vastauksen paremmin.
- Miten tarkistan vastauksen kohtuullisuuden?
- Vertaa tulosta lieriöön, jolla on suurin säde ja korkeus. Jos integraalitulos on suurempi, jokin on pielessä.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – pyörähdyskappaleet
Opetussuunnitelman sovellukset tilavuuksien ja pinta-alojen laskemiseen.
- Yo-tehtäväkokoelma pyörähdyskappaleista
YTL:n kooste tehtävistä, joissa pyörähdysprofiili pitää integroida.