Tilavuuden laskeminen integraalilla – sovelluksia ja malliesimerkkejä
Tilavuus voidaan mallintaa leikkauspintojen integraalina. Pyörähdyskappaleet, säiliöt ja tiheästi pakatut tuotteet ratkaistaan usein integraalin avulla.
Määritelmä
Tilavuus saadaan integroimalla leikkauspinnan ala: . Pyörähdyskappaleissa on ympyrän tai renkaan ala ( tai ), kuorimenetelmässä .Kaavat
Pyörähdyskappale x-akselin ympäri (kiekko)
Pyörähdyskappale syntyy kun käyrä y = f(x) pyörähtää x-akselin ympäri. Jokainen leikkaus on ympyrä, jonka säde on f(x).
- käyrän arvo pisteessä x (= säde)
- integroimisrajat
Rengas (ulko- ja sisäsäde)
Kun pyörähdyskappaleessa on reikä, leikkaus on rengas. Ulkosäde R(x) ja sisäsäde r(x) määräävät renkaan alan.
- ulkosäde
- sisäsäde
Sylinterikuori (y-akselin ympäri)
Sylinterikuorimenetelmä sopii parhaiten kun pyörähdys on y-akselin ympäri. Kuoren tilavuus on 2r·h·dr.
- etäisyys y-akselista (= säde)
- kuoren korkeus
Säännöt
Piirrä leikkaus
Luonnos auttaa valitsemaan oikean menetelmän ja säteen.
Visualisoi leikkaus: kiekko, rengas vai kuori. Luonnos auttaa tunnistamaan säteen ja korkeuden.
Tunnista akseli
Säteen etäisyys mitataan akselista: .
Säde on aina etäisyys käyrästä pyörähdysakseliin. Jos akseli on siirtynyt, laske etäisyys.
Valitse muuttuja
Valitse integraalimuuttuja sen mukaan, kumpi suunta pitää leikkauspinnan yhtenäisenä.
Jos leikkauspinta on helpompi kuvata x:n suhteen, integroi x:n suhteen. Jos y:n suhteen, integroi y:n suhteen.
Esimerkit
Kartion tilavuus derivaatan avulla
HelppoKartion korkeus on 5 cm ja pohjan säde 3 cm. Johda tilavuus integraalilla.
- Kirjoita säde funktioksiRistikkäisten kolmioiden mukaan , mitataan kärjestä.
- Muodosta integraali.
- LaskeTulokseksi , kuten klassinen kaava kertoo.
Säiliön tilavuus
KeskitasoSäiliön poikkileikkaus on paraabeli (metreissä). Säiliö on 3 m pitkä ja sen leveys mitataan -akselin suunnassa. Laske tilavuus.
- PoikkipintaLeveys on kun .
- Integraali -suunnassa(korkeus 1 m). Tilavuus .
- Laske.
Sylinterikuori siirretyllä akselilla
VaikeaAlue , pyörii suoran ympäri.
- KorkeusKuoren korkeus on .
- SädeAkselista ulkoraja on , joten säde .
- Integraali.
Sovellukset
- Yo-kokeessa pyörähdystilavuudet ovat tyypillisiä laajoja tehtäviä.
- Prosessiteollisuudessa säiliön täyttöaste määritetään integraalilla poikkipinta-alasta.
- Mekaniikassa massan momentit saadaan tilavuusintegraaleista, kun tiheys vaihtelee asennon mukaan.
Yleisiä virheitä
Akseli unohtuu
Säde mitataan väärästä pisteestä, jolloin tulos on liian suuri tai pieni.
Oikein: Piirrä akseli ja merkitse etäisyys ennen integraalin kirjoittamista.
Useita integraaleja vältetään turhaan
Valitaan väärä muuttuja, jolloin funktio pitää ratkaista kahdessa osassa.
Oikein: Jos yksi suunta tuottaa kahden eri funktion yhdistelmän, vaihda muuttujaa.
Pyörähdys väärän funktion ympäri
Ulko- ja sisäsäde sekoitetaan renkaan kaavassa.
Oikein: Kirjoita ulkoraja ensin ja vain sen jälkeen vähennä sisäraja.
Usein kysyttyä
- Milloin valitsen kuorimenetelmän?
- Kun pyörähdysakseli on kohtisuorassa haluttua muuttujaa vastaan ja alue on helpompi kuvata korkeutena kuin säteiden erotuksena.
- Mitä teen, jos akseli on siirretty?
- Lisää tai vähennä akselin etäisyyttä säteeseen. Esimerkiksi pyörähdys ympäri lisää säteeseen 2 yksikköä.
- Voiko tulos olla negatiivinen?
- Ei. Jos integraali antaa negatiivisen arvon, olet todennäköisesti vaihtanut ulko- ja sisäsäteen paikat.
- Tarvitaanko aina piitä?
- Pyörähdyskappaleissa kyllä, mutta yleisessä kaavassa voidaan integroida myös ilman ympyräsäteitä (esim. prisma, jossa poikkipinta muuttuu).
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 Integraali – tilavuudet
Opetussuunnitelman ohjeistus tilavuuden mallintamiseen.
- Yo-tehtäviä tilavuuksista
YTL:n tehtäväpankin pyörähdystehtävät ja malliratkaisut.