Juurifunktioiden ominaisuudet – määrittelyjoukot, arvojoukot ja kuvaajat
Juurifunktioiden ominaisuudet kertovat, milloin parilliset ja parittomat juuret ovat määriteltyjä ja miten kuvaajat käyttäytyvät. Tarvitset nämä ehdot MAA2:n juuriyhtälöissä, MAA8:n graafeissa ja yo-kokeen raja-arvotehtävissä.
Kaavat
Parillisten juurien määrittelyjoukko:
Parillisten juurien arvojoukko:
Parittomien juurien määrittelyjoukko:
Parittomien juurien arvojoukko:
kaikilla
kaikilla
Säännöt
Kasvavuus
Juurifunktiot ovat kasvavia määrittelyjoukossaan: jos , niin
Jatkuvuus
Juurifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan
Parillisten juurien pariteetti
Parillisten juurien kuvaajat ovat symmetrisiä -akselin suhteen vain positiivisella puolella
Parittomien juurien pariteetti
Parittomien juurien kuvaajat ovat symmetrisiä origon suhteen:
Rajojen ominaisuudet
ja (parillisille juurille)
Esimerkit
Esimerkki 1: Neliöjuuren määrittelyjoukko ja arvojoukko
HelppoMääritä funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko.
- Määrittelyjoukko: Neliöjuuri on määritelty vain, kun . Määrittelyjoukko on .Parillisten juurien kohdalla juuren sisällä olevan lausekkeen on oltava ei-negatiivinen.
- Arvojoukko: Kun , niin . Arvojoukko on .Neliöjuuri on aina ei-negatiivinen, ja se saa kaikki arvot väliltä .
Esimerkki 2: Kuutiojuuren määrittelyjoukko ja arvojoukko
HelppoMääritä funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko.
- Määrittelyjoukko: Kuutiojuuri on määritelty kaikille reaaliluvuille. Määrittelyjoukko on .Parittomien juurien kohdalla funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille, myös negatiivisille.
- Arvojoukko: Kuutiojuuri voi saada kaikki reaalilukuarvot. Arvojoukko on .Parittomien juurien kohdalla funktio voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.
Esimerkki 3: Yhdistetyn juurifunktion määrittelyjoukko
KeskitasoMääritä funktion määrittelyjoukko.
- Aseta ehto: Juuren sisällä olevan lausekkeen on oltava ei-negatiivinen: .Parillisten juurien kohdalla juuren sisällä olevan lausekkeen on oltava ei-negatiivinen.
- Ratkaise epäyhtälö: , joten .Ratkaistaan epäyhtälö normaalisti.
- Määrittelyjoukko on .Funktio on määritelty vain, kun .
Esimerkki 4: Juurifunktion kasvavuus
KeskitasoOsoita, että funktio on kasvava määrittelyjoukossaan.
- Valitse kaksi pistettä: Olkoon .Kasvavuuden tarkistamiseksi vertaillaan funktion arvoja kahdessa pisteessä.
- Koska ja molemmat ovat ei-negatiivisia, niin .Neliöjuuri säilyttää järjestyksen: jos , niin .
- Funktio on kasvava määrittelyjoukossaan .Koska funktion arvo kasvaa, kun muuttuja kasvaa, funktio on kasvava.
Esimerkki 5: Parittomien juurien symmetria
KeskitasoOsoita, että funktio on pariton funktio.
- Tarkista parittomuuden määritelmä: Funktio on pariton, jos kaikilla .Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
- Laske: .Parittomien juurien kohdalla negatiivisen luvun juuri on negatiivinen juuri positiivisesta luvusta.
- Funktio on pariton, koska kaikilla .Tämä tarkoittaa, että kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
Esimerkki 6: Juurifunktion raja-arvot
HelppoLaske raja-arvot: ja .
- Raja-arvo äärettömyydessä: .Kun kasvaa rajatta, myös kasvaa rajatta, vaikka hitaammin.
- Raja-arvo nollasta oikealta: .Kun lähestyy nollaa positiiviselta puolelta, myös lähestyy nollaa.
Esimerkki
Määritä funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko.
- Määrittelyjoukko: Juuren sisällä olevan lausekkeen on oltava ei-negatiivinen: , joten . Määrittelyjoukko on .
- Arvojoukko: Kun , niin . Arvojoukko on .
Sovellukset
- Optimointitehtävissä parillisen juuren määrittelyjoukko rajaa muuttujan: esimerkiksi on määritelty vain, kun suunnittelumuuttuja .
- Liike-energian ja nopeuden yhteys näyttää, että suurempi energia kasvattaa nopeutta monotonisesti; tämä perustuu juurifunktion kasvavuuteen.
- Tilastollisissa taulukoissa keskihajonta on aina ei-negatiivinen ja reagoi tasaisesti yksittäisiin havaintoihin, koska juurifunktio on jatkuva.
Yleisiä virheitä
Parillisten juurien määrittelyjoukon unohtaminen
Monet unohtavat, että parillisten juurien (kuten neliöjuuri) kohdalla funktio on määritelty vain, kun juuren sisällä oleva lauseke on ei-negatiivinen. Esimerkiksi on määritelty vain, kun .
Oikein: Aina tarkista parillisten juurien määrittelyjoukko. Aseta ehto: juuren sisällä olevan lausekkeen on oltava ei-negatiivinen. Esimerkki: on määritelty vain, kun , eli .
Arvojoukon ja määrittelyjoukon sekoittaminen
Monet sekoittavat määrittelyjoukon ja arvojoukon. Määrittelyjoukko kertoo, millä muuttujan arvoilla funktio on määritelty, kun taas arvojoukko kertoo, mitä arvoja funktio voi saada.
Oikein: Muista: määrittelyjoukko on muuttujan arvojen joukko, jossa funktio on määritelty. Arvojoukko on funktion arvojen joukko. Esimerkki: määrittelyjoukko on ja arvojoukko on .
Parittomien juurien määrittelyjoukon rajoittaminen
Monet rajoittavat parittomien juurien määrittelyjoukkoa vain positiivisiin lukuihin, vaikka ne ovat määriteltyjä kaikille reaaliluvuille. Esimerkiksi on määritelty kaikille , myös negatiivisille.
Oikein: Muista: parittomien juurien kohdalla funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille. Esimerkki: määrittelyjoukko on ja arvojoukko on .
Kasvavuuden väärä tulkinta
Monet ajattelevat, että juurifunktio kasvaa lineaarisesti, vaikka se kasvaa hitaammin kuin lineaarinen funktio. Esimerkiksi kasvaa hitaammin kuin .
Oikein: Juurifunktiot ovat kasvavia, mutta ne kasvavat hitaammin kuin lineaarinen funktio. Esimerkki: , mutta , ei . Kasvu on hitaampaa kuin lineaarinen.
Usein kysyttyä
- Miksi neliöjuuren kuvaaja alkaa origon oikealta puolelta?
- Parillisen juuren määrittelyjoukko on , joten on määritelty vasta kun . Kuvaaja kulkee pisteen kautta ja kasvaa hitaasti oikealle.
- Miten parittoman juuren symmetria todistetaan?
- Funktiolle pätee , joten kuvaaja on origon suhteen symmetrinen. Tämä tekee funktiosta parittoman.
- Miten määrittelyjoukko muuttuu, kun juuren sisälle tulee lineaarinen termi?
- Jos , määrittelyehto on . Ratkaise epäyhtälö: jos , saat , jos , saat .
- Miten tutkitaan juurifunktion raja-arvo, kun lähestyy nollaa oikealta?
- Parilliselle juurelle . Jos juuren sisällä on lineaarinen termi, tarkista ensin määrittelyjoukko ja tee muutos .
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot
LOPS21:n tavoitteet juurifunktioiden kuvaajien tutkimiseen ja ominaisuuksien perusteluun.
- MAA2 Potenssit ja juuret
Perustason kurssikuvaus, joka painottaa määrittelyjoukkojen tarkistamista juuriyhtälöissä.
- Yo-tehtävät: juurifunktioiden ominaisuudet
YTL:n tehtäväsarja, jossa analysoidaan kasvavuutta, symmetriaa ja määrittelyehtoja.