Logaritmifunktioiden ominaisuudet – määrittelyjoukot, arvojoukot ja kuvaajat
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio: se kasvaa hitaasti, kulkee pisteen kautta ja on määritelty vain positiivisille argumenteille. Näitä ominaisuuksia tarvitaan MAA5:n logaritmiyhtälöissä, MAA8:n kuvaajissa ja yo-kokeen mallinnustehtävissä.
Kaavat
Logaritmifunktioiden määrittelyjoukko:
Logaritmifunktioiden arvojoukko:
kaikilla ,
kaikilla ,
ja (käänteisfunktioiden ominaisuudet)
(kun )
(kun )
Säännöt
Kasvavuus
Logaritmifunktio on kasvava, kun kantaluku : jos , niin
Vähenevyys
Logaritmifunktio on vähenevä, kun kantaluku : jos , niin
Jatkuvuus
Logaritmifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan
Käänteisfunktio
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio: ja
Vertikaalinen asymptootti
Logaritmifunktioilla on vertikaalinen asymptootti : (kun )
Esimerkit
Esimerkki 1: Luonnollisen logaritmin määrittelyjoukko ja arvojoukko
HelppoMääritä funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko.
- Määrittelyjoukko: Luonnollinen logaritmi on määritelty vain, kun . Määrittelyjoukko on .Logaritmifunktioiden kohdalla argumentin on oltava positiivinen.
- Arvojoukko: Luonnollinen logaritmi voi saada kaikki reaalilukuarvot. Arvojoukko on .Logaritmifunktiot ovat käänteisfunktioita eksponenttifunktioille, joten niiden arvojoukot ovat kaikki reaaliluvut.
Esimerkki 2: Yhdistetyn logaritmifunktion määrittelyjoukko
KeskitasoMääritä funktion määrittelyjoukko.
- Aseta ehto: Logaritmin argumentin on oltava positiivinen: .Logaritmifunktioiden kohdalla argumentin on oltava positiivinen.
- Ratkaise epäyhtälö: , joten .Ratkaistaan epäyhtälö normaalisti.
- Määrittelyjoukko on .Funktio on määritelty vain, kun .
Esimerkki 3: Logaritmifunktion kasvavuus
KeskitasoOsoita, että funktio on kasvava määrittelyjoukossaan.
- Valitse kaksi pistettä: Olkoon .Kasvavuuden tarkistamiseksi vertaillaan funktion arvoja kahdessa pisteessä.
- Koska ja molemmat ovat positiivisia, ja kantaluku , niin .Koska kantaluku on suurempi kuin 1, logaritmifunktio on kasvava.
- Funktio on kasvava määrittelyjoukossaan .Koska funktion arvo kasvaa, kun muuttuja kasvaa, funktio on kasvava.
Esimerkki 4: Logaritmifunktion vähenevyys
KeskitasoOsoita, että funktio on vähenevä määrittelyjoukossaan.
- Valitse kaksi pistettä: Olkoon .Vähenevyyden tarkistamiseksi vertaillaan funktion arvoja kahdessa pisteessä.
- Koska ja molemmat ovat positiivisia, ja kantaluku , niin .Koska kantaluku on pienempi kuin 1, logaritmifunktio on vähenevä.
- Funktio on vähenevä määrittelyjoukossaan .Koska funktion arvo pienenee, kun muuttuja kasvaa, funktio on vähenevä.
Esimerkki 5: Logaritmifunktion käänteisfunktio
KeskitasoOsoita, että funktiot ja ovat toistensa käänteisfunktioita.
- Tarkista käänteisfunktioiden määritelmä: Funktiot ovat käänteisfunktioita, jos ja määrittelyjoukoissaan.Käänteisfunktioiden kohdalla funktioiden yhdistelmä antaa identiteettifunktion.
- Laske: (kun ).Eksponenttifunktio ja logaritmifunktio kumoavat toisensa.
- Laske: (kun ).Logaritmifunktio ja eksponenttifunktio kumoavat toisensa.
- Funktiot ovat toistensa käänteisfunktioita.Molemmat ehdot täyttyvät, joten funktiot ovat käänteisfunktioita.
Esimerkki 6: Logaritmifunktion raja-arvot
HelppoLaske raja-arvot: ja .
- Raja-arvo nollasta oikealta: .Kun lähestyy nollaa positiiviselta puolelta, luonnollinen logaritmi lähestyy negatiivista ääretöntä.
- Raja-arvo äärettömyydessä: .Kun kasvaa rajatta, myös luonnollinen logaritmi kasvaa rajatta, vaikka hitaammin kuin lineaarinen funktio.
Esimerkki
Määritä funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko.
- Määrittelyjoukko: Logaritmin argumentin on oltava positiivinen: , joten . Määrittelyjoukko on .
- Arvojoukko: Logaritmifunktio voi saada kaikki reaalilukuarvot. Arvojoukko on .
Sovellukset
- Taloustieteessä logaritmifunktio kuvaa korkoa korolle -kasvua: jos sijoitus kasvaa eksponentiaalisesti, logaritmi muuntaa mallin lineaariseksi analyysia varten.
- Tietoliikenteessä desibeliasteikko on logaritminen, jolloin suuri arvoalue voidaan puristaa yhteen kuvaajaan.
- Biologiassa popluatioiden eksponentiaalinen kasvu linearisoi logaritmin avulla, mikä helpottaa parametrien arviointia.
Yleisiä virheitä
Logaritmifunktioiden määrittelyjoukon unohtaminen
Monet unohtavat, että logaritmifunktioiden kohdalla argumentin on oltava positiivinen. Esimerkiksi on määritelty vain, kun .
Oikein: Aina tarkista logaritmifunktioiden määrittelyjoukko. Aseta ehto: logaritmin argumentin on oltava positiivinen. Esimerkki: on määritelty vain, kun , eli . Määrittelyjoukko on .
Kasvavuuden ja vähenevyyden sekoittaminen
Monet sekoittavat, milloin logaritmifunktio on kasvava ja milloin vähenevä. Logaritmifunktio on kasvava, kun kantaluku , ja vähenevä, kun .
Oikein: Muista: logaritmifunktio on kasvava, kun kantaluku , ja vähenevä, kun . Esimerkki: on kasvava, mutta on vähenevä.
Arvojoukon ja määrittelyjoukon sekoittaminen
Monet sekoittavat määrittelyjoukon ja arvojoukon. Määrittelyjoukko kertoo, millä muuttujan arvoilla funktio on määritelty, kun taas arvojoukko kertoo, mitä arvoja funktio voi saada.
Oikein: Muista: määrittelyjoukko on muuttujan arvojen joukko, jossa funktio on määritelty. Arvojoukko on funktion arvojen joukko. Esimerkki: määrittelyjoukko on ja arvojoukko on .
Käänteisfunktioiden ominaisuuksien unohtaminen
Monet unohtavat, että logaritmifunktio ja eksponenttifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita. Tämä tarkoittaa, että ja .
Oikein: Muista: logaritmifunktio ja eksponenttifunktio kumoavat toisensa. Esimerkki: ja . Tämä on hyödyllinen ominaisuus laskutoimituksissa.
Usein kysyttyä
- Miksi logaritmifunktio on määritelty vain positiivisille arvoille?
- Logaritmi on eksponentin käänteinen: yhtälölle on reaalinen ratkaisu vain, kun ja .
- Miten logaritmifunktion asymptotti näkyy kuvaajassa?
- Koska , kuvaaja lähestyy -akselia muttei leikkaa sitä. Tämä on tärkeää, kun piirretään kuvaaja käsin yo-kokeessa.
- Miten kantaluku vaikuttaa logaritmifunktion jyrkkyyteen?
- Jos , logaritmifunktio on kasvava ja loivenee vähitellen. Jos , funktio on vähenevä. Kantaluvun vaihtaminen venyttää tai tiivistää kuvaajaa horisontaalisesti.
- Miten logaritmifunktion nollakohta määritellään?
- Funktio leikkaa -akselin kohdassa , koska . Tämä on hyvä tarkistuspiste kuvaajaa piirrettäessä.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA5 Funktiot ja yhtälöt 2
Kurssikuvaus, joka esittelee logaritmifunktiot eksponenttifunktioiden käänteisinä.
- MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot
LOPS21:n tavoitteet logaritmifunktioiden kuvaajien tutkimiseen ja sovelluksiin.
- Yo-tehtävät: logaritmifunktioiden ominaisuudet
YTL:n tehtävät, joissa analysoidaan logaritmifunktion kuvaajaa ja määrittelyehtoja.