Logaritmiyhtälöt – ratkaiseminen eksponenttifunktioilla
Logaritmiyhtälöissä tuntematon on logaritmin sisällä. Ratkaisuissa hyödynnetään laskusääntöjä ja eksponenttimuunnoksia MAA5- ja MAA8-kursseilla sekä yo-tehtävissä.
Kaavat
(eksponenttifunktiomenetelmä)
(sama kantaluku, , )
(tulon logaritmi)
(osamäärän logaritmi)
(potenssin logaritmi)
Säännöt
Eksponenttifunktiomenetelmä
(kun )
Sama kantaluku
(kun , )
Logaritmien laskusääntö
,
Määrittelyehto
on määritelty vain, kun ja ,
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen logaritmiyhtälö
HelppoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: .Logaritmin argumentin on oltava positiivinen.
- Käytetään eksponenttifunktiota: .Eksponenttifunktio on logaritmifunktion käänteisfunktio.
- Tarkistetaan: .Ratkaisu on oikea.
Esimerkki 2: Logaritmiyhtälö summan kanssa
KeskitasoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehdot: eli ja eli . Yhdistetty ehto: .Molempien logaritmien argumenttien on oltava positiivisia.
- Käytetään tulon logaritmin sääntöä: .Tulon logaritmi on logaritmien summa.
- Yksinkertaistetaan: , joten .Käytetään erotuksen neliön kaavaa.
- Käytetään eksponenttifunktiota: , joten .Eksponenttifunktio on logaritmifunktion käänteisfunktio.
- Ratkaistaan: tai .Ratkaistaan toisen asteen yhtälö.
- Tarkistetaan määrittelyehto: , joten vain kelpaa.Vain positiivinen ratkaisu täyttää määrittelyehdon.
Esimerkki 3: Logaritmiyhtälö eri kantalukujen kanssa
KeskitasoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: .Logaritmin argumentin on oltava positiivinen.
- Laske oikea puoli: (koska ).Lasketaan logaritmi erikseen.
- Yhtälö on , joten .Käytetään eksponenttifunktiota.
- Tarkistetaan: ja .Ratkaisu on oikea.
Esimerkki 4: Logaritmiyhtälö potenssin kanssa
KeskitasoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: eli .Logaritmin argumentin on oltava positiivinen.
- Käytetään potenssin logaritmin sääntöä: .Potenssin logaritmi on eksponentti kertaa logaritmi.
- Ratkaistaan: , joten .Käytetään eksponenttifunktiota.
- Tarkistetaan: .Ratkaisu on oikea.
Esimerkki 5: Monimutkainen logaritmiyhtälö
VaikeaRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehdot: eli ja eli . Yhdistetty ehto: .Molempien logaritmien argumenttien on oltava positiivisia.
- Käytetään osamäärän logaritmin sääntöä: .Osamäärän logaritmi on logaritmien erotus.
- Käytetään eksponenttifunktiota: .Eksponenttifunktio on logaritmifunktion käänteisfunktio.
- Ratkaistaan: , joten , josta .Ratkaistaan rationaaliyhtälö.
- Tarkistetaan määrittelyehto: , joten kelpaa.Ratkaisu täyttää määrittelyehdon.
Esimerkki 6: Logaritmiyhtälö luonnollisella logaritmilla
KeskitasoRatkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: eli .Logaritmin argumentin on oltava positiivinen.
- Käytetään eksponenttifunktiota: , joten .Luonnollinen logaritmi on eksponenttifunktion käänteisfunktio.
- Lasketaan likiarvo: .Lasketaan likiarvo laskimella.
Esimerkki
Ratkaise yhtälö .
- Määrittelyehto: eli .
- Käytetään eksponenttifunktiota: , joten .
- Tarkistetaan: .
Sovellukset
- Korkoa korolle -laskuissa logaritmi ratkaisee ajan: jos , niin .
- Kemian pH-asteikolla logaritmiyhtälöt määrittävät happamuuden: .
- Äänitekniikassa desibelitasojen erot ratkaistaan logaritmien avulla: .
Yleisiä virheitä
Määrittelyehtojen unohtaminen
Monet unohtavat tarkistaa määrittelyehdot ratkaisun jälkeen. Esimerkiksi ratkaistaan: , joten . Mutta jos ratkaisu olisi , se ei kelpaisi, koska ei ole määritelty.
Oikein: Aina tarkista määrittelyehdot ratkaisun jälkeen. Logaritmin argumentin on oltava positiivinen. Esimerkki: Jos , niin määrittelyehto on , eli . Ratkaisu täyttää tämän ehdon.
Logaritmien laskusääntöjen väärinkäyttö
Monet sekoittavat logaritmien laskusääntöjä. Esimerkiksi (tulo), mutta (summa).
Oikein: Muista logaritmien laskusäännöt: (tulo), (osamäärä), mutta (summa). Summalle ei ole yksinkertaista sääntöä.
Eksponenttifunktiomenetelmän unohtaminen
Monet unohtavat käyttää eksponenttifunktiota logaritmiyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkiksi ratkaistaan: , ei .
Oikein: Aina käytä eksponenttifunktiota logaritmiyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkki: ratkaistaan: . Tämä johtuu siitä, että eksponenttifunktio on logaritmifunktion käänteisfunktio.
Eri kantalukujen yhtälöiden väärä ratkaisu
Monet yrittävät ratkaista eri kantalukujen yhtälöitä suoraan vertaamalla argumentteja, vaikka tämä ei toimi. Esimerkiksi ratkaistaan laskemalla oikea puoli ensin: , joten , josta .
Oikein: Eri kantalukujen yhtälöt ratkaistaan laskemalla toinen puoli ensin tai käyttämällä kantalukuvaihtosääntöä. Esimerkki: ratkaistaan laskemalla , joten , josta .
Usein kysyttyä
- Miten poistan logaritmin yhtälöstä?
- Kun logaritmin sisällä oleva lauseke on eristetty, korota molemmat puolet logaritmin kantaluvun potenssiin ja ratkaise syntynyt eksponenttiyhtälö.
- Miksi logaritmiyhtälön ratkaisut pitää tarkistaa?
- Logaritmi on määritelty vain positiivisille argumenteille. Korottaminen potenssiin voi tuottaa lisäratkaisuja, jotka eivät täytä alkuperäistä ehtoa.
- Miten käsittelen yhtälön, jossa on useita logaritmeja?
- Yhdistä logaritmit laskusäännöillä yhdeksi logaritmiksi ennen eksponentointia. Esimerkiksi .
- Voinko käyttää luonnollista logaritmia tehtävässä, jossa kantaluku on 10?
- Kyllä. Käytä kantaluvun vaihtoa: . Ratkaisu pysyy samana, kunhan käytät samaa logaritmia kaikissa termeissä.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA5 Funktiot ja yhtälöt 2
Kurssikuvaus logaritmiyhtälöiden ratkaisuun ja laskusääntöjen harjoitteluun.
- MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot
LOPS21:n tavoitteet logaritmien soveltamisesta mallinnukseen.
- Yo-tehtävät: logaritmiyhtälöt
YTL:n tehtäväsarja, joka kattaa eri kantaluvut ja luonnolliset logaritmit.