Determinantti – Matriisin determinantti
Determinantti tiivistää neliömatriisin vaikutuksen yhteen lukuun: se kertoo, venyttääkö muunnos pinta-alaa tai tilavuutta ja onko matriisi kääntyvä. Determinantti liittyy suoraan [käänteismatriisiin](/fi/ratkaise/matriisit/kaanteismatriisi) ja [matriisikertolaskuun](/fi/ratkaise/matriisit/matriisikertolasku), ja sitä käsitellään lukion kurssilla MAA9: Lineaarialgebra. Tällä sivulla harjoittelet determinanttiperusteisia laskuja ja tulkintoja.
Määritelmä
Determinantti on neliömatriisiin liittyvä skalaari (luku), joka kuvaa matriisin ominaisuuksia. Determinantti voidaan laskea vain neliömatriiseille. Matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava eli . Jos , matriisi on singulaarinen eikä sillä ole käänteismatriisia.Kaavat
Jos , niin (22-matriisi)
Jos , niin (33-matriisi)
(tulon determinantti)
(käänteismatriisin determinantti)
(transpoosin determinantti)
Säännöt
Kääntyvyys ja determinantti
Matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos
Nollarivi tai -sarake
Jos matriisissa on nollarivi tai -sarake, niin
Sama rivi tai sarake
Jos matriisissa on kaksi samaa riviä tai saraketta, niin
Rivien tai sarakkeiden vaihto
Jos matriisi saadaan matriisista vaihtamalla kahden rivin tai sarakkeen paikat, niin
Vakiolla kertominen
Jos matriisi saadaan matriisista kertomalla yksi rivi tai sarake vakiolla , niin
Rivien tai sarakkeiden summa
Jos matriisi saadaan matriisista lisäämällä yksi vakiolla kerrottu rivi tai sarake toiseen riviin tai sarakkeeseen, niin
Esimerkit
Esimerkki 1: 2×2-matriisin determinantti
HelppoLaske matriisin determinantti.
- Käytä kaavaa: , missä , , , .22-matriisin determinantti lasketaan kaavalla .
- Laske: .Kerro päälävistäjän alkiot ja vähennä sivulävistäjän alkioiden tulo.
- Tulos: , joten matriisi on kääntyvä.Koska determinantti on nollasta poikkeava, matriisi on kääntyvä.
Esimerkki 2: 3×3-matriisin determinantti
KeskitasoLaske matriisin determinantti.
- Käytä kaavaa: , missä , , , , , , , , .33-matriisin determinantti lasketaan kehittämällä ensimmäisen rivin suhteen.
- Laske: .Kehitä determinantti ensimmäisen rivin suhteen.
- Yksinkertaista: .Laske laskutoimitukset.
- Tulos: , joten matriisi on singulaarinen eikä sillä ole käänteismatriisia.Koska determinantti on nolla, matriisi on singulaarinen.
Esimerkki 3: Tulon determinantti
KeskitasoLaske , kun ja , ja vertaa tulokseen .
- Laske : .Laske ensimmäisen matriisin determinantti.
- Laske : .Laske toisen matriisin determinantti.
- Laske .Kerro determinanteista.
- Laske : .Laske matriisien tulo.
- Laske : .Laske tulon determinantti.
- Vertaa: .Tulon determinantti on determinanteista: .
Esimerkki 4: Nollarivi
HelppoLaske matriisin determinantti.
- Huomaa, että matriisissa on nollarivi (toinen rivi).Matriisissa on nollarivi, joten determinantti on nolla.
- Koska matriisissa on nollarivi, .Jos matriisissa on nollarivi tai -sarake, determinantti on nolla.
- Tulos: , joten matriisi on singulaarinen.Nollarivi tarkoittaa, että matriisi on singulaarinen.
Esimerkki 5: Sama rivi
HelppoLaske matriisin determinantti.
- Huomaa, että matriisissa on kaksi samaa riviä (ensimmäinen ja kolmas rivi).Matriisissa on kaksi samaa riviä, joten determinantti on nolla.
- Koska matriisissa on kaksi samaa riviä, .Jos matriisissa on kaksi samaa riviä tai saraketta, determinantti on nolla.
- Tulos: , joten matriisi on singulaarinen.Sama rivi tarkoittaa, että matriisi on singulaarinen.
Esimerkki 6: Rivien vaihto
HelppoLaske matriisin determinantti, jos saadaan matriisista vaihtamalla rivien paikat.
- Laske : .Laske alkuperäisen matriisin determinantti.
- Matriisi on (rivit vaihdettu).Rivien vaihto muuttaa determinantin etumerkkiä.
- Laske : .Laske uuden matriisin determinantti.
- Vertaa: .Rivien vaihto muuttaa determinantin etumerkkiä: .
Sovellukset
- Käänteismatriisin olemassaolo tarkistetaan determinantilla: singulaarisen matriisin determinantti on nolla, joten se ei ole kääntyvä.
- Geometriset muunnokset skaalaavat pinta-aloja ja tilavuuksia determinantin itseisarvon verran, mikä auttaa ymmärtämään mittakaavan muutoksia.
- Koordinaatistomuunnoksissa determinantti kertoo integraalien muunnoskertoimen (Jacobian) ja ohjaa esimerkiksi tilavuuksien laskemista fysiikassa.
Yleisiä virheitä
Determinantin laskeminen ei-neliömatriisille
Monet unohtavat, että determinantti voidaan laskea vain neliömatriiseille. He yrittävät laskea determinantin suorakaiteen muotoisille matriiseille.
Oikein: Aina tarkista, että matriisi on neliömatriisi ennen determinantin laskemista. Determinantti voidaan laskea vain neliömatriiseille eli matriiseille, joissa rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama.
22-matriisin determinantin kaavan väärinkäyttö
Monet sekoittavat, mitkä alkiot kerrotaan ja mitkä vähennetään 22-matriisin determinantissa.
Oikein: 22-matriisin determinantti on . Kerro päälävistäjän alkiot ( ja ) ja vähennä sivulävistäjän alkioiden tulo ( ja ).
Determinantin ja kääntyvyyden yhteyden unohtaminen
Monet unohtavat, että matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava. He yrittävät laskea käänteismatriisin matriiseille, joiden determinantti on nolla.
Oikein: Muista, että matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos . Jos , matriisi on singulaarinen eikä sillä ole käänteismatriisia.
Tulon determinantin kaavan unohtaminen
Monet unohtavat, että tulon determinantti on determinanteista: . He yrittävät laskea tulon determinantin suoraan ilman tätä kaavaa.
Oikein: Muista, että tulon determinantti on determinanteista: . Tämä pätee kaikille neliömatriiseille ja .
Usein kysyttyä
- Mitä determinantti kertoo matriisista?
- Determinantin arvo ilmaisee, venyttääkö muunnos tilavuutta ja onko matriisi kääntyvä. Nollasta poikkeava determinantti tarkoittaa, että matriisilla on käänteismatriisi.
- Miksi determinantti voi olla negatiivinen?
- Allekirjoitus kertoo suunnan: negatiivinen determinantti tarkoittaa, että lineaarinen muunnos kääntää orientaation (esimerkiksi peilaa) samalla kun skaalaa tilavuutta.
- Miten rivitoimenpiteet vaikuttavat determinanttiin?
- Rivien vaihto vaihtaa determinantin etumerkin, rivin kertominen luvulla kertoo koko determinanttia luvulla , ja yhden rivin lisääminen toiseen ei muuta determinanttia.
- Mikä on nopein tapa laskea 3 3 -determinantti?
- Kehitä determinantti yhden rivin tai sarakkeen suhteen tai käytä Sarruksen sääntöä. Suuremmat matriisit kannattaa laskea rivitoimenpiteiden tai Laplacen kehitelmän avulla.
- Milloin determinanttia tarvitaan yo-kokeessa?
- Determinanttia käytetään usein kääntyvyyden todentamiseen, pinta-alan tai tilavuuden laskemiseen sekä osana lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisua. Harjoittele erityisesti 2 2 - ja 3 3 -tapauksia.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA9 Lineaarialgebra
Opetussuunnitelman osuus, jossa determinantit liitetään käänteisiin ja lineaarisiin muunnoksiin.
- Yo-tehtävät: determinantit
YTL:n arkistosta löytyvät tehtävät, joissa determinantilla tarkistetaan kääntyvyys tai lasketaan pinta-aloja.
- 3Blue1Brown – Change of basis and determinants
Video havainnollistaa determinanttia tilavuuskertoimena ja perustelee sen ominaisuudet.