Matriisien laskutoimitukset – Yhteenlasku, vähennyslasku ja vakiolla kertominen
Yhteenlasku, vähennyslasku ja skalaari-kertolasku ovat matriisien ensimmäiset työkalut. Ne pidetään alkioittaisina, jotta rakenne säilyy ennen kuin siirrytään [matriisikertolaskuun](/fi/ratkaise/matriisit/matriisikertolasku) tai [lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun](/fi/ratkaise/matriisit/lineaariset-yhtaloryhmat-matriiseilla). Operaatioita harjoitellaan lukion kurssissa MAA9: Lineaarialgebra, ja ne varmistavat sujuvan etenemisen Gaussin eliminaatioon ja determinantteihin.
Kaavat
(yhteenlasku alkioittain)
(vähennyslasku alkioittain)
(vakiolla kertominen)
(vastamatriisi)
Säännöt
Yhteenlaskun ehto
Matriisit ja voidaan laskea yhteen vain, jos ne ovat samankokoisia eli
Yhteenlaskun kommutatiivisuus
(yhteenlasku on vaihdannainen)
Yhteenlaskun assosiatiivisuus
(yhteenlasku on liitännäinen)
Nollamatriisi neutraalialkiona
ja , missä on nollamatriisi
Vastamatriisi
, missä on matriisin vastamatriisi
Vakiolla kertomisen distributiivisuus
ja
Esimerkit
Esimerkki 1: Matriisien yhteenlasku
HelppoLaske , kun ja .
- Tarkista, että matriisit ovat samankokoisia: molemmat ovat -matriiseja.Yhteenlasku on mahdollista vain, jos matriisit ovat samankokoisia.
- Laske alkioittain: .Vastaavat alkiot lasketaan yhteen: ensimmäisellä rivillä ensimmäisessä sarakkeessa , jne.
- Tarkista tulos: .Yhteenlasku suoritetaan alkioittain, joten jokainen alkio on vastaavien alkioiden summa.
Esimerkki 2: Matriisien vähennyslasku
HelppoLaske , kun ja .
- Tarkista, että matriisit ovat samankokoisia: molemmat ovat -matriiseja.Vähennyslasku on mahdollista vain, jos matriisit ovat samankokoisia.
- Laske alkioittain: .Vastaavat alkiot vähennetään: ensimmäisellä rivillä ensimmäisessä sarakkeessa , jne.
- Tarkista tulos: .Vähennyslasku suoritetaan alkioittain, joten jokainen alkio on vastaavien alkioiden erotus.
Esimerkki 3: Vakiolla kertominen
HelppoLaske , kun .
- Kerro jokainen alkio vakiolla : .Vakiolla kertominen tapahtuu kertomalla jokainen alkio vakiolla.
- Laske: .Jokainen alkio kerrotaan vakiolla : , , , .
- Tarkista tulos: .Vakiolla kertominen ei muuta matriisin kokoa, vain alkioiden arvoja.
Esimerkki 4: Yhdistetty laskutoimitus
KeskitasoLaske , kun ja .
- Laske ensin : .Kerro matriisin jokainen alkio vakiolla .
- Laske sitten : .Kerro matriisin jokainen alkio vakiolla .
- Vähennä: .Vähennyslasku suoritetaan alkioittain vastaavien alkioiden välillä.
Esimerkki 5: Suurempi matriisi
HelppoLaske , kun ja .
- Tarkista, että matriisit ovat samankokoisia: molemmat ovat -matriiseja.Yhteenlasku on mahdollista vain, jos matriisit ovat samankokoisia.
- Laske alkioittain: .Jokainen alkio lasketaan vastaavan alkion kanssa yhteen.
- Tarkista tulos: .Yhteenlasku toimii samalla tavalla kaikissa matriiseissa, riippumatta koosta.
Esimerkki 6: Vastamatriisi
KeskitasoLaske ja tarkista, että , kun .
- Laske vastamatriisi: .Vastamatriisi saadaan kertomalla matriisi vakiolla .
- Laske summa: .Matriisin ja sen vastamatriisin summa on nollamatriisi.
- Tarkista: , kuten pitääkin.Vastamatriisi on matriisin käänteisalkio yhteenlaskussa.
Sovellukset
- Kuvankäsittelyssä kuvan kirkkaus ja kontrasti säädetään kertomalla pikselimatriisia vakiolla tai yhdistelemällä kuvia alkioittaisella summalla.
- Fysiikan koordinaatistomuunnoksissa ja voimasuperpositioissa vektorien komponentteja yhdistellään matriisien yhteen- ja vähennyslaskulla.
- Talouden panos–tuotos-taulukoissa sektorien tuotantomääriä skaalataan kysynnän muutosten mukaan kertomalla matriiseja vakioilla.
Yleisiä virheitä
Eri kokoisia matriiseja yritetään laskea yhteen
Monet unohtavat, että yhteenlasku ja vähennyslasku ovat mahdollisia vain, jos matriisit ovat samankokoisia. Esimerkiksi -matriisia ei voi laskea yhteen -matriisin kanssa.
Oikein: Aina tarkista, että matriisit ovat samankokoisia ennen yhteen- tai vähennyslaskua. Matriisit ja voidaan laskea yhteen vain, jos eli molemmat ovat -matriiseja.
Vakiolla kertomisen unohtaminen
Monet unohtavat kertoa kaikkia alkioita vakiolla. He saattavat kertoa vain osan alkioista tai unohtaa kertolaskun kokonaan.
Oikein: Muista, että vakiolla kertominen tarkoittaa, että jokainen alkio kerrotaan vakiolla. Esimerkki: , ei .
Vähennyslaskun suunnan sekoittaminen
Monet sekoittavat, onko sama kuin . Nämä eivät ole samoja, koska vähennyslasku ei ole vaihdannainen.
Oikein: Muista, että yleisesti. Vähennyslasku ei ole vaihdannainen, toisin kuin yhteenlasku. Esimerkki: jos ja , niin , mutta .
Alkioiden väärä laskeminen
Monet sekoittavat, mitkä alkiot lasketaan yhteen. He saattavat laskea väärät alkiot yhteen tai sekoittaa rivit ja sarakkeet.
Oikein: Muista, että vastaavat alkiot lasketaan yhteen. Alkio lasketaan alkion kanssa, missä on rivinumero ja on sarakenumero. Esimerkki: lasketaan :n kanssa, lasketaan :n kanssa, jne.
Usein kysyttyä
- Miksi matriisien täytyy olla samankokoisia yhteen- ja vähennyslaskussa?
- Alkioittaiset laskutoimitukset onnistuvat vain, jos jokaisella rivillä ja sarakkeella on vastinpari toisessa matriisissa. Siksi sekä rivien että sarakkeiden määrän on täsmättävä.
- Miten erotan vastamatriisin ja käänteismatriisin?
- Vastamatriisi saadaan kertomalla kaikki alkiot luvulla ja sitä käytetään yhteenlaskussa. Käänteismatriisi on määritelty vain neliömatriiseille ja liittyy kertolaskuun. Ne eivät ole sama asia.
- Voiko vakiolla kertominen muuttaa matriisin kokoa?
- Ei voi. Skalaari vaikuttaa vain arvoihin, ei riveihin tai sarakkeisiin. Kertomisen jälkeen matriisi pysyy -kokoisena.
- Miten lasketaan yhdistelmä ?
- Kerro matriisi luvulla 2 ja matriisi luvulla 3 erikseen, minkä jälkeen vähennä tulokset alkioittain. Muista, että ja täytyy olla samankokoisia.
- Missä vaiheessa Gaussin eliminaatiota tarvitsen näitä sääntöjä?
- Gaussin eliminaatio perustuu rivitoimenpiteisiin, jotka ovat juuri matriisin rivien yhteen-, vähennys- ja skalaarioperaatioita. Säännöt varmistavat, että yhtälöryhmän ratkaisu säilyy.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA9 Lineaarialgebra
Kurssikuvauksen kohta, jossa määritellään matriisien yhteenlasku, vastamatriisi ja skalaarikertominen osana rivitoimenpiteitä.
- Yo-tehtävät matriisien peruslaskuista
Ylioppilastutkintolautakunnan arkisto, jossa monet tehtävät edellyttävät alkioittaista laskentaa tai rivitoimenpiteitä.
- TIM: Rivitoimenpiteiden perusoperaatiot
TIM-ympäristön materiaali, jossa vahvistetaan alkioittaisia laskusääntöjä ja valmistellaan Gaussin eliminaatioon.