Matriisien määritelmä – Mitä on matriisi?

Matriisi kokoaa lineaarisen algebran peruskielen: rivit ja sarakkeet järjestävät luvut taulukoiksi, joilla kuvataan muunnoksia ja yhtälöryhmiä. Aihe aloitetaan lukion valinnaisessa kurssissa MAA9: Lineaarialgebra ja siitä on suora jatkumo [matriisien laskutoimituksiin](/fi/ratkaise/matriisit/matriisien-laskutoimitukset) sekä [matriisikertolaskuun](/fi/ratkaise/matriisit/matriisikertolasku). Tällä sivulla tunnistat matriisityypit ja merkinnät, jotta myöhemmät laskut sujuvat varmasti.

Määritelmä

Matriisi on suorakulmainen taulukko alkioita, jotka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Matriisia, jossa on riviä ja saraketta, merkitään muodossa tai . Alkio sijaitsee rivillä ja sarakkeessa , ja alaindeksit yksilöivät paikan.

Kaavat

(kompaktimerkintä)

(matriisi reaalilukujen joukossa)

Säännöt

Matriisin koko

-matriisi sisältää riviä ja saraketta

Neliömatriisi

Jos , matriisia kutsutaan neliömatriisiksi

Rivivektori

Jos , matriisia kutsutaan rivivektoriksi

Sarakkevektori

Jos , matriisia kutsutaan sarakevektoriksi

Nollamatriisi

tai on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia

Yksikkömatriisi

on neliömatriisi, jossa päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä ja muut nollia

Esimerkit

Esimerkki 1: Yksinkertainen matriisi

Helppo

Määritä matriisin koko ja alkiot.

Tunnista matriisin koko: matriisissa on 2 riviä ja 2 saraketta.
Matriisi on -matriisi eli neliömatriisi.
Merkitse alkiot: , , , .
Ensimmäinen indeksi tarkoittaa riviä, toinen saraketta.
Päälävistäjän alkiot ovat ja .
Päälävistäjä kulkee vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.

Esimerkki 2: Suorakaiteen muotoinen matriisi

Helppo

Määritä matriisin koko ja alkiot.

Tunnista matriisin koko: matriisissa on 2 riviä ja 3 saraketta.
Matriisi on -matriisi.
Merkitse alkiot: , , , , , .
Matriisissa on yhteensä alkiota.
Ensimmäinen rivi on ja toinen rivi on .
Rivit luetaan vaakasuunnassa vasemmalta oikealle.

Esimerkki 3: Rivivektori ja sarakevektori

Helppo

Määritä vektorien ja tyypit.

Vektori on -matriisi, joten se on rivivektori.
Rivivektorissa on yksi rivi ja useita sarakkeita.
Vektori on -matriisi, joten se on sarakevektori.
Sarakkevektorissa on useita rivejä ja yksi sarake.
Molemmat ovat matriiseja, vaikka niitä kutsutaan vektoreiksi.
Vektorit ovat erityistapauksia matriiseista.

Esimerkki 4: Nollamatriisi ja yksikkömatriisi

Keskitaso

Kirjoita -nollamatriisi ja -yksikkömatriisi.

Nollamatriisi: .
Nollamatriisissa kaikki alkiot ovat nollia.
Yksikkömatriisi: .
Yksikkömatriisissa päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä ja muut nollia.
Yksikkömatriisi on aina neliömatriisi.
Yksikkömatriisia voidaan muodostaa vain neliömatriiseille.

Esimerkki 5: Matriisin alkioiden merkintä

Helppo

Matriisi . Määritä alkiot , ja .

Alkio on ensimmäisellä rivillä toisessa sarakkeessa: .
Ensimmäinen indeksi on rivi, toinen sarake.
Alkio on toisella rivillä ensimmäisessä sarakkeessa: .
Indeksit määräävät alkion sijainnin matriisissa.
Alkio on toisella rivillä kolmannessa sarakkeessa: .
Negatiiviset luvut ovat sallittuja matriisin alkioina.

Sovellukset

Kuvankäsittelyssä matriisin rivit ja sarakkeet vastaavat pikseleitä: muunnosmatriisit muuttavat kuvan skaalaa, kiertoa ja perspektiiviä yhdellä laskulla.
Fysiikassa matriisit kuvaavat koordinaatistomuunnoksia ja pyörityksiä, joita tarvitaan mekaniikan ja sähkömagnetismin laskuissa.
Talouden panos–tuotos-malleissa matriisit esittävät toimialojen riippuvuuksia ja auttavat arvioimaan kysynnän muutosten vaikutuksia.

Yleisiä virheitä

Rivien ja sarakkeiden sekoittaminen

Monet sekoittavat, mikä indeksi tarkoittaa riviä ja mikä saraketta. Ensimmäinen indeksi on aina rivi ja toinen sarake.

Oikein: Muista: tarkoittaa alkioita rivillä ja sarakkeessa . Ensimmäinen indeksi = rivi, toinen indeksi = sarake.

Matriisin koon merkintä

Monet sekoittavat, onko matriisi vai . Koko merkitään aina muodossa "rivit kertaa sarakkeet".

Oikein: Matriisin koko on aina , missä on rivien lukumäärä ja on sarakkeiden lukumäärä. Esimerkki: -matriisissa on 2 riviä ja 3 saraketta.

Neliömatriisin määritelmä

Monet unohtavat, että neliömatriisissa rivien ja sarakkeiden lukumäärän täytyy olla sama.

Oikein: Neliömatriisi on matriisi, jossa . Esimerkiksi -matriisi on neliömatriisi, mutta -matriisi ei ole.

Yksikkömatriisin muodostaminen

Monet unohtavat, että yksikkömatriisi on aina neliömatriisi ja että päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä, muut nollia.

Oikein: Yksikkömatriisi on neliömatriisi, jossa kaikilla ja , kun . Esimerkki: on -yksikkömatriisi.

Usein kysyttyä

Miten matriisin koko ilmoitetaan?: Koko ilmoitetaan muodossa , missä on rivien määrä ja sarakkeiden määrä. Esimerkiksi kertoo, että matriisissa on kaksi riviä ja kolme saraketta.
Mikä erottaa rivivektorin ja sarakevektorin?: Rivivektori on muotoa eli siinä on yksi rivi ja useita sarakkeita. Sarakevektori on muotoa eli siinä on yksi sarake ja useita rivejä. Molemmat ovat matriiseja.
Mitä tarkoittaa neliömatriisi?: Neliömatriisissa rivien ja sarakkeiden määrä on sama (). Tällaisille matriiseille voidaan määritellä determinantti, käänteismatriisi ja muita ominaisuuksia, joita ei ole suorakaiteisilla matriiseilla.
Miksi yksikkömatriisi on tärkeä?: Yksikkömatriisi toimii kertolaskun neutraalialkiona: . Se on myös ratkaiseva, kun tarkastellaan käänteismatriisin olemassaoloa ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuja.
Miten transpoosi muuttaa matriisia?: Transpoosi syntyy vaihtamalla matriisin rivit sarakkeiksi. Esimerkiksi rivivektorista tulee transpoosissa sarakevektori ja päinvastoin.