Matriisikertolasku – Matriisien tulo
Matriisikertolasku yhdistää lineaarisen muunnoksen ja aineiston: rivin ja sarakkeen pistetulo kuvaa, miten koordinaatit muuttuvat. Operaatio ei ole vaihdannainen, joten järjestys ja dimensiot on tarkistettava ennen laskua. Kertolasku on keskeinen MAA9: Lineaarialgebra -kurssilla, ja sitä tarvitaan [käänteismatriisin](/fi/ratkaise/matriisit/kaanteismatriisi) muodostamiseen, [determinantin](/fi/ratkaise/matriisit/determinantti) ominaisuuksiin sekä lineaaristen yhtälöryhmien analyysiin.
Kaavat
Jos ja , niin
(alkioittain)
(rivin ja sarakkeen tulo)
Säännöt
Kertolaskun ehto
Matriisit ja voidaan kertoa vain, jos ja eli ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä
Tulon koko
Jos ja , niin
Kertolaskun assosiatiivisuus
(kertolasku on liitännäinen)
Kertolaskun distributiivisuus
ja
Vakiolla kertominen
, missä on vakio
Yksikkömatriisi neutraalialkiona
ja , missä on yksikkömatriisi
Nollamatriisi
ja , missä on nollamatriisi
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen matriisikertolasku
KeskitasoLaske , kun ja .
- Tarkista, että kertolasku on mahdollista: on ja on , joten on .Kertolasku on mahdollista, koska ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä (2) on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä (2).
- Laske ensimmäisen rivin ensimmäinen alkio: .Ensimmäisen rivin ensimmäinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi toisen matriisin ensimmäisellä sarakkeella.
- Laske ensimmäisen rivin toinen alkio: .Ensimmäisen rivin toinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi toisen matriisin toisella sarakkeella.
- Laske toisen rivin ensimmäinen alkio: .Toisen rivin ensimmäinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin toinen rivi toisen matriisin ensimmäisellä sarakkeella.
- Laske toisen rivin toinen alkio: .Toisen rivin toinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin toinen rivi toisen matriisin toisella sarakkeella.
- Yhdistä tulokset: .Tulos on -matriisi, kuten pitääkin.
Esimerkki 2: Eri kokoiset matriisit
KeskitasoLaske , kun ja .
- Tarkista, että kertolasku on mahdollista: on ja on , joten on .Kertolasku on mahdollista, koska ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä (3) on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä (3).
- Laske .Ensimmäisen rivin ensimmäinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi toisen matriisin ensimmäisellä sarakkeella.
- Laske .Ensimmäisen rivin toinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi toisen matriisin toisella sarakkeella.
- Laske .Toisen rivin ensimmäinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin toinen rivi toisen matriisin ensimmäisellä sarakkeella.
- Laske .Toisen rivin toinen alkio saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin toinen rivi toisen matriisin toisella sarakkeella.
- Yhdistä tulokset: .Tulos on -matriisi, kuten pitääkin.
Esimerkki 3: Rivivektori ja sarakevektori
HelppoLaske , kun ja .
- Tarkista, että kertolasku on mahdollista: on ja on , joten on eli skalaari.Rivivektorin ja sarakevektorin tulo on skalaari (yksi luku).
- Laske tulo: .Rivivektorin ja sarakevektorin tulo saadaan kertomalla vastaavat alkiot ja laskemalla ne yhteen.
- Tulos on skalaari: .Rivivektorin ja sarakevektorin tulo on aina skalaari.
Esimerkki 4: Kertolasku ei ole vaihdannainen
KeskitasoLaske ja , kun ja , ja vertaa tuloksia.
- Laske : .Kertolasku suoritetaan normaalisti.
- Laske : .Kertolasku suoritetaan käänteisessä järjestyksessä.
- Vertaa: .Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen: yleisesti.
Esimerkki 5: Yksikkömatriisi neutraalialkiona
KeskitasoLaske ja , kun ja on yksikkömatriisi.
- Laske : .Yksikkömatriisi on neutraalialkio kertolaskussa: .
- Laske : .Yksikkömatriisi on neutraalialkio kertolaskussa myös vasemmalta: .
- Tulos: ja , kuten pitääkin.Yksikkömatriisi on neutraalialkio matriisien kertolaskussa.
Esimerkki 6: Distributiivisuus
VaikeaLaske ja , kun , ja , ja vertaa tuloksia.
- Laske : .Laske matriisien summa ensin.
- Laske : .Kerro matriisi summalla.
- Laske : .Laske tulot erikseen.
- Laske : .Laske toinen tulo.
- Laske : .Laske tulojen summa.
- Vertaa: .Kertolasku on distributiivinen: .
Sovellukset
- Tietokonegrafiikassa pisteiden koordinaatit muutetaan kertomalla ne muunnosmatriisilla, jolloin rotaatiot, skaalaukset ja projektiot onnistuvat yhtenä laskuna.
- Koneoppimisessa painomatriisit kertovat syötevektorin uudeksi esitykseksi, minkä avulla hermoverkon kerrokset yhdistävät piirteitä.
- Säätötekniikan tilamalleissa matriisikertolasku kuvaa, miten tila kehittyy aikayksikössä ja miten mittaukset liittyvät sisätiloihin.
Yleisiä virheitä
Kertolaskun ehtojen unohtaminen
Monet unohtavat, että matriisien kertolasku on mahdollista vain, kun ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä. He yrittävät kertoa matriiseja, joille kertolasku ei ole määritelty.
Oikein: Aina tarkista, että kertolasku on mahdollista. Jos ja , niin on määritelty vain, jos . Tällöin .
Kertolaskun vaihdannaisuuden olettaminen
Monet olettavat, että kaikille matriiseille, mikä ei pidä paikkaansa. Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen.
Oikein: Muista, että matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen: yleisesti. Esimerkki: jos ja , niin .
Väärä tapa laskea matriisikertolasku
Monet yrittävät laskea matriisikertolaskun kertomalla vastaavat alkiot suoraan, kuten tavallisessa kertolaskussa. Tämä ei ole oikea tapa.
Oikein: Matriisikertolasku lasketaan kertomalla rivit sarakkeilla. Alkio saadaan kaavalla , missä on ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä.
Tulon koon unohtaminen
Monet unohtavat, että tulon koko riippuu tekijöiden koosta. Jos ja , niin .
Oikein: Muista, että jos ja , niin . Tulon rivien lukumäärä on sama kuin ensimmäisen matriisin rivien lukumäärä, ja tulon sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin sarakkeiden lukumäärä.
Usein kysyttyä
- Milloin tulo on määritelty?
- Kun ja . Sisäiset dimensiot () täytyy täsmätä, jotta rivien ja sarakkeiden pistetulot voidaan laskea.
- Miten tulon koko määräytyy?
- Tulon koko on : ensimmäinen matriisi antaa rivien määrän ja toinen sarakkeiden määrän. Tämä helpottaa tuloksen muodon tarkistamista jo ennen laskua.
- Miksi ja eivät yleensä ole samoja?
- Kertolasku perustuu rivien ja sarakkeiden pistetuloihin, joten järjestyksen vaihtaminen muuttaa yhdistettäviä rivejä ja sarakkeita. Lisäksi voi olla määrittelemätön, jos dimensioehdot eivät toteudu.
- Miten matriisikertolasku kuvaa peräkkäisiä muunnoksia?
- Jos ja ovat lineaarisia muunnoksia, tulo vastaa ensin muunnosta ja sen jälkeen muunnosta . Tämä tiivistää usean muunnoksen yhdeksi matriisiksi.
- Mikä on yksikkömatriisin merkitys tulossa?
- Yksikkömatriisi toimii kertolaskun neutraalina alkiona: . Se varmistaa, että muunnoksen yhdistäminen identiteettiin ei muuta tulosta ja toimii lähtökohtana käänteismatriisille.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA9 Lineaarialgebra
Opetussuunnitelman osio, jossa matriisikertolasku liitetään lineaarisiin muunnoksiin ja yhtälöryhmiin.
- Yo-tehtäväpankki: lineaarialgebra
YTL:n tehtäväpankki, josta löytyy kertolaskua soveltavia tehtäviä ja pisteytyksiä.
- 3Blue1Brown – Linear transformations
Video selittää, miten matriisikertolasku vastaa avaruuden venyttämistä ja kiertoa.