Polynomien jakaminen – pitkäjako ja synteettinen jako
Polynomijaon avulla löydät tekijät, ratkot yhtälöt ja supistat rationaalifunktioita. Hallitse sekä pitkäjako että Hornerin menetelmä, jotta yo-tehtävät sujuvat nopeasti.
Määritelmä
Polynomijakamisessa etsitään polynomit ja siten, että ja . Jos , jako voidaan tehdä synteettisesti (Horner).Kaavat
, kun
, kun (kerrannaisjuuren testi)
Säännöt
Astejärjestys
Lisää puuttuvat asteet nollakertoimella ennen jakoa.
Pitkäjako
Kerro osamäärän termi niin, että se poistaa jaettavan korkeimman asteen termin.
Synteettinen jako
Käytä Horner-ruudukkoa, jos jakaja on muotoa .
Tarkistus
Laske : jos tulos on 0, jakaminen on tarkka.
Esimerkit
Pitkäjako toisen asteen jakajalla
KeskitasoJaa polynomilla .
- Täydennä puuttuvat termitKirjoita .
- Jaon ensimmäinen termi. Kerro ja vähennä.
- Jatka asteittainSaat osamääräksi ja jäännökseksi .
Synteettinen jako
HelppoSuorita jako tekijällä Hornerin menetelmällä.
- Kirjoita kertoimetKertoimet ovat 1, 0, -7, 6.
- Suorita HornerSaat kertoimet 1, 2, -3 ja jäännöksen 0.
- OsamääräOsamäärä on .
Jäännöksen tulkinta yo-tehtävässä
VaikeaYo-tehtävässä annetaan . Laske jäännös, kun jaat :lla ja päättele, onko 3 juuri.
- Laske Saat .
- Tee synteettinen jakoHorner antaa jäännökseksi -18, joten jako ei ole tarkka.
- Tulkintaei ole nollakohta, mutta osamäärä auttaa jatkotarkastelussa.
Sovellukset
- Tekijöihin jakoa ja polynomien faktorisointia varten tarvitaan jakoa useisiin binomitekijöihin.
- Rationaalifunktioiden supistaminen ennen raja-arvojen laskemista onnistuu vasta jaon jälkeen.
- Yo-kokeen pitkissä tehtävissä polynomijako yhdistyy derivointiin ja juurten analyysiin.
Yleisiä virheitä
Puuttuvat asteet unohtuvat
Ilman nollakertoimia Horner ei toimi ja pitkäjako antaa väärän osamäärän.
Oikein: Lisää aina puuttuvat termit nollalla ennen jaon aloittamista.
Jäännös tulkitaan virheellisesti
Nollasta poikkeava jäännös ei tarkoita, että jako epäonnistui, vaan että tekijä ei jaa polynomia tasan.
Oikein: Raportoi tulos muodossa ja kerro eksplisiittisesti.
Synteettinen jako väärällä juurella
Jakaja vaatii juuren , ei .
Oikein: Muuta jakaja muotoon ja käytä :ää Hornerissa.
Usein kysyttyä
- Milloin pitkäjako on pakollinen?
- Kun jakaja on toista astetta tai korkeampi. Binomijako onnistuu Hornerilla, mutta yleinen jakaja vaatii pitkän jaon.
- Voinko käyttää suoraan laskinta?
- Yo-kokeessa CAS saa tarkistaa lopputuloksen, mutta käsin tehty jako ja perustelu vaaditaan pisteisiin.
- Miten tunnistan kerrannaisjuuren?
- Jos ja , juurella on kerrannaisuus vähintään kaksi. Jako :lla on tällöin perusteltu.
- Mitä jos jäännös ei ole nolla?
- Kirjoita vastaus muodossa . Rationaalifunktion supistaminen jatkuu tästä muodosta.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA4 – polynomijako
Opetushallituksen kurssikuvaus, jossa polynomijakoa harjoitellaan vaihe vaiheelta.
- Yo-kokeen malliratkaisu: kevät 2022 tehtävä 7
Mallivastaus, jossa polynomijako avaa reitin optimointiin.
- Horner-harjoitukset CAS-laskimella
Video-opas Hornerin menetelmästä käsin ja laskimella.