Polynomien laskutoimitukset – summa, erotus, tulo ja jako
Opettele yhdistämään samanasteiset termit, kertomaan polynomeja ja suorittamaan jakolaskun ilman turhaa pitkäjakomenettelyä. Tarvitaan kaikissa MAA4:n tehtävissä ja yo-kokeen perusosuuksissa.
Määritelmä
Polynomien laskutoimituksilla tarkoitetaan summan, erotuksen, kertolaskun ja jakolaskun suorittamista niin, että tulos on supistettu polynomi. Jako tehdään yleensä jakamalla polynomi binomilla tai matala-asteisella tekijällä.Kaavat
(jakolause, kun jaettava on monomi )
Säännöt
Järjestä asteittain
Kirjoita termit laskevaan asteen järjestykseen ennen ja jälkeen laskun.
Yhdistä saman asteiset
.
Kerro kaikki termit
Tulossa jokainen termi kerrotaan jokaisella termillä.
Jäännöslause jakamisessa
Jos , jako tekijällä on jakojäännöksetön.
Esimerkit
Summa ja erotus samassa tehtävässä
HelppoLaske .
- Laajenna erotusVaihda merkit jälkimmäisessä polynomissa: .
- Yhdistä saman asteisetSaat .
Tulon supistaminen
KeskitasoKerro ja supista.
- Kerro termit, , , , , .
- Yhdistä saman asteisetSaat .
Polynomijako Hornerilla
VaikeaJaa tekijällä ja laske jäännös.
- Kirjoita kertoimetKäytä Horneria: kertoimet 3, -2, -7, 8, -4.
- Suorita synteettinen jakoSaat tulokseksi kertoimet 3, 4, 1, 10 ja jäännöksen 16.
- Muodosta osamääräOsamäärä on ja jäännös .
Sovellukset
- Yo-kokeen pitkät tehtävät vaativat polynomien yhdistämistä ennen derivointia tai integrointia.
- Tilastomalleissa polynomit sovitetaan dataan, jolloin laskutoimitukset automatisoidaan mutta periaate on sama.
- Ohjelmoinnissa ja CAS-työkaluissa polynomit syötetään supistetussa muodossa, joten manuaalinen supistus ehkäisee virheitä.
Yleisiä virheitä
Unohdetaan vaihtaa kaikki merkit erotuksessa
Jos vain osa termeistä vaihtaa merkkiään, lopputulos vääristyy.
Oikein: Kerro vähennettävä polynomi ensin -1:llä ja lisää vasta sitten.
Tulossa unohtuu termi
Kaksi- tai kolmitermeisten polynomien kertolaskussa joku tulo jää helposti puuttumaan.
Oikein: Muodosta järjestelmällinen taulukko tai tee Horner/FOIL-menetelmä askel askeleelta.
Jäännöstä ei huomioida jaossa
Ilman jäännöstä jako näyttäisi päättyvän tasan vaikka
eq 0
eq 0
Oikein: Kirjoita tulos muodossa ja laske .
Usein kysyttyä
- Milloin käytän Hornerin menetelmää?
- Kun jaat polynomin binomilla tai etsit rationaalisia juuria. Menetelmä vähentää laskuvirheitä ja antaa jäännöksen suoraan.
- Voinko jättää tuloksen kertolaskun jälkeen kerrottuun muotoon?
- Yo-tehtävissä tulos pitää supistaa. Supistettu polynomi helpottaa jatkolaskuja, kuten derivointia.
- Miten tarkistan polynomijaon onnistumisen?
- Laske , missä on jaon nimittäjän juuri. Jos arvo on nolla, jako on tarkka; muuten saat jäännöksen.
- Onko CAS-laskin hyväksytty tapa?
- Yo-kokeessa CAS saa tarkistaa tuloksen, mutta pisteet saa vain käsin tehdyistä ja perustelluista laskuista.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA4 – polynomilaskut
Kurssikuvaus: polynomien summa, tulo, jako ja sovellukset.
- Yo 2023K tehtävä 5 – polynomijako
Esimerkki ratkaisusta, jossa Hornerin menetelmä nopeuttaa laskemista.