Vietan kaavat – juurten ja kertoimien yhteys
Vietan kaavat kertovat, miten polynomin juurten summa ja tulo liittyvät suoraan kertoimiin. Ne nopeuttavat yhtälöiden ratkaisua ja juurten tarkistusta yo-kokeissa.
Määritelmä
Jos ja juuret ovat , Vietan kaavat antavat suhteen kertoimien ja symmetristen summien välillä: , jne.Kaavat
Toinen aste: Jos ja juuret , niin ,
Kolmas aste: , ,
Yleinen muoto: , missä on :nnen asteen symmetrinen summa juurista
Säännöt
Järjestä polynomi
Kirjoita laskevaan asteen järjestykseen ja varmista .
Normalisoi tarvittaessa
Jos , jaa kaavat kertoimella .
Sovella summaa ja tuloa
Käytä juurten summia ja tuloja yhtälöiden rakentamiseen.
Tarkista kerrannaisjuuret
Kerrannaisuus huomioidaan toistamalla juuri symmetrisissä summissa.
Esimerkit
Juurten summa ilman ratkaisemista
HelppoPolynomilla on juuret ja . Laske ja käyttämättä neliöjuurikaavaa.
- Tunnista kertoimet, , .
- Sovella Vietaa, .
Tuntemattomien kertoimien ratkaisu
HelppoPolynomilla on juuret 4 ja -1. Määritä ja .
- Summa.
- Tulo.
Kolmannen asteen lisätehtävä
KeskitasoPolynomissa on juuret . Laske ja tarkista yksi juuri.
- Tunnista kertoimet, , , .
- Symmetrinen summa.
- Testaa rationaalinen juuriKokeile : .
- Jaa Osamäärä on , joka antaa juuret ja .
Sovellukset
- Ratkaise tuntemattomia kertoimia, kun juuret tiedetään tai niiden summa/tulo annetaan.
- Yo-tehtävissä Vietan kaavoja käytetään tyypillisesti osoittamaan juurten symmetrioita.
- Matematiikan olympiatehtävissä kaavat helpottavat elegantteja todistuksia ilman raskasta laskentaa.
Yleisiä virheitä
Unohdetaan kertoimen merkki
Summassa ja tuloissa vuorottelee miinusmerkki.
Oikein: Muista kaavan -tekijä.
Normalisoimatta jättäminen
Jos , kaava muuttuu.
Oikein: Jaa polynomi :llä ennen kaavojen soveltamista.
Kerrannaisuus unohtuu
Kerrannaisjuuret pitää laskea mukaan useampaan kertaan summissa.
Oikein: Sisällytä juuri symmetrisiin summiin kerrannaisuutensa verran.
Usein kysyttyä
- Voiko Vietan kaavoja soveltaa kompleksisiin juuriin?
- Kyllä. Kaavat pätevät kaikille juurille. Kompleksiset juuret tulevat yleensä konjugaattipareina reaalikertoimisille polynomeille.
- Miten Vietan kaavoja käytetään epäsuorasti?
- Voit muodostaa yhtälön juurten summan ja tulon perusteella ilman, että ratkaiset juuret suoraan.
- Entä jos yksi juuri on tuntematon parametri?
- Sijoita tunnettu suhde, esimerkiksi , ja ratkaise parametri kertoimista.
- Miksi miinusmerkit vuorottelevat?
- Ne syntyvät, kun polynomi kirjoitetaan tekijätulona ja termit kerrotaan auki. Jokainen tekijä tuo mukanaan -termin.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA4 – Vietan kaavat
Kurssimateriaali polynomien kertoimien ja juurten suhteesta.
- Vietan kaavojen sovelluksia
Harjoituskokoelma, joka sisältää olympiatason esimerkkejä.
- Yo kevät 2019 tehtävä 6
Malliratkaisu, jossa Vietan kaavoja käytetään tuntemattomien määritykseen.