Geometrinen sarja – äärellinen ja ääretön summa
Geometrinen sarja koostuu suhdeluvulla kerrottavista termeistä. Se mallintaa korkoa korolle -korkoa, toistuvia investointeja ja yo-tehtävien virhearvioita. Tästä osiosta löydät kaavat ja käytännön tyyliset esimerkit.
Määritelmä
Geometrinen sarja on muotoa . Sarja suppenee, jos , jolloin summa on . Osasumma kuvaa ensimmäistä termiä.Kaavat
(kun
eq 1
eq 1
(kun )
, jos
(virhearvio, )
sarja on positiivinen ja laskee kohti summaa
Säännöt
Suppenemisehto
Geometrinen sarja suppenee ⇔ |r| < 1.
Negatiivinen suhde
Jos r < 0, termit vuorottelevat, mutta kaava toimii samoin.
Osasumma
S_k = a_0
Hajaantuminen
Jos |r| 1, sarja hajaantuu eikä summaa ole.
Esimerkit
Esimerkki 1: Äärellinen osasumma
HelppoLaske sarjan ensimmäisten neljän termin summa.
- Tunnista parametritja .
- Käytä osasumman kaavaa.
- Laske.
Esimerkki 2: Virhearvio äärettömässä sarjassa
KeskitasoKuinka monta termiä tarvitaan, että sarjan summa on 0,1 yksikön päässä lopullisesta arvosta?
- Tunnistaja .
- Käytä virhearviotaEhto .
- Ratkaise.
- VastausTarvitaan vähintään 21 termiä (k = 20), jotta virhe on alle 0,1.
Esimerkki 3: Korkoa korolle -malli
VaikeaSijoitat 150 € vuoden välein ja tuotto on 6 %. Kuinka paljon on kertynyt 20 vuoden kuluttua?
- Muodosta sarjaKukin maksu kasvaa suhteella , joten summa on .
- Käytä osasumman kaavaa.
- Laske.
Sovellukset
- Korkoa korolle -laskenta ja eläkepääoman arviointi.
- Fysiikassa toistuvien heijastusten ja vaimenemisten mallinnus.
- Tietojenkäsittelyssä geometrinen sarja kuvaa esimerkiksi binääripuiden solmujen määrää tasoittain.
Yleisiä virheitä
Summakaavan käyttö ilman ehtoa
Kaavaa käytetään vaikka .
Oikein: Tarkista ensin, että . Muuten sarja hajaantuu.
Osasumman kaava väärin indeksoitu
Käytetään eksponenttia vaikka sarja alkaa nollasta.
Oikein: Jos summa alkaa , osasummassa on . Mukauta kaavaa indeksoinnin mukaan.
Negatiivinen suhde unohtuu
Vaihtomerkkinen käyttäytyminen tulkitaan virheenä vaikka sarja suppenee.
Oikein: Arvioi suuruus käyttäen ja huomaa, että merkki vain vaihtuu.
Usein kysyttyä
- Milloin ääretön geometrinen sarja suppenee?
- Kun . Muuten osasummat kasvavat tai värähtelevät rajatta.
- Miten arvioin, montako termiä tarvitsen?
- Käytä virhearviota ja ratkaise niin, että se on pienempi kuin sallittu virhe.
- Voiko sarja alkaa indeksistä 1?
- Kyllä. Sovita kaava vastaavasti: jos ensimmäinen termi on , kirjoita sarja muodossa .
- Mitä teen, jos ?
- Sarja on tällöin ja hajaantuu, koska termit eivät pienene.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA9 Sarjat ja differentiaaliyhtälöt – kurssiohje
LOPS21:n virallinen kuvaus geometrisista sarjoista ja oppimistavoitteista.
- Yo-tehtävät: Geometriset sarjat
Kokoelma yo-tehtäviä, joissa arvioidaan geometrisiä sarjoja ja korkolaskuja.