Binomijakauma – Toistokoe ja binomijakauma
Binomijakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, joka kuvaa onnistumisten lukumäärää :ssä riippumattomassa toistokokeessa. Toistokokeessa (Bernoullin koe) on kaksi mahdollista tulosta: onnistuminen (todennäköisyys ) ja epäonnistuminen (todennäköisyys ). Binomijakauma on keskeinen käsite todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Tämä aihe kuuluu lukion matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään kursseilla MAA8: Tilastot ja todennäköisyys ja MAA12. Tällä sivulla opit binomijakauman laskemisen, odotusarvon ja varianssin sekä binomijakauman käytön todennäköisyyslaskennassa.
Kaavat
Binomitodennäköisyys
Todennäköisyys saada tarkalleen onnistumista riippumattomassa toistokokeessa. Kerroin = kuinka monella tavalla onnistumista voi sijoittua kohtaan; = todennäköisyys yhdelle tällaiselle järjestykselle.
- Onnistumisten lukumäärä (satunnaismuuttuja)
- Kokeiden lukumäärä
- Onnistumisten lukumäärä
- Onnistumisen todennäköisyys yhdellä kerralla
Odotusarvo
Keskimäärin odotettavissa oleva onnistumisten määrä. Intuitiivisesti: kertaa todennäköisyys .
- Odotusarvo (keskimääräinen onnistumisten määrä)
- Kokeiden lukumäärä
- Onnistumisen todennäköisyys
Varianssi
Hajonta onnistumisten määrässä; suurin kun (maksimi epävarmuus), pienempi ääriarvoilla.
- Varianssi (onnistumisten määrän hajonta)
- Kokeiden lukumäärä ja onnistumisen todennäköisyys
Keskihajonta
Varianssin neliöjuuri; sama yksikkö kuin (onnistumisten lukumäärä). "Tyypillinen" poikkeama odotusarvosta .
- Keskihajonta (varianssin neliöjuuri)
Toistokoe
Jokainen koe on itsenäinen; tulos on joko onnistuminen tai epäonnistuminen. Binomijakauma edellyttää kertaista toistoa.
- Onnistumisen todennäköisyys
- Epäonnistumisen todennäköisyys
Todennäköisyyksien summa
Kaikki mahdolliset tulokset ( onnistumista) muodostavat täyden tapahtumajoukon, joten todennäköisyyksien summa on .
- Mahdolliset onnistumisten lukumäärät
Säännöt
Toistokoe
Riippumaton koe, jossa on kaksi mahdollista tulosta: onnistuminen () ja epäonnistuminen ()
Jokainen koe on itsenäinen; tulos on joko onnistuminen tai epäonnistuminen.
Binomitodennäköisyys
Todennäköisyys saada tarkalleen onnistumista riippumattomassa kokeessa.
Odotusarvo
Keskimäärin odotettavissa oleva onnistumisten määrä.
Varianssi
Hajonta onnistumisten määrässä.
Keskihajonta
Varianssin neliöjuuri; sama yksikkö kuin .
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen binomijakauma
HelppoHeitetään noppaa kertaa. Mikä on todennäköisyys saada tarkalleen kuutosta?
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisten lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).Jokaisella heitolla todennäköisyys saada kuutonen on . Kokeet ovat riippumattomia.
- Käytä binomitodennäköisyyden kaavaa: .Binomitodennäköisyys lasketaan kaavalla .
- Laske: , ja , joten .Binomitodennäköisyys on noin .
- Vastaus: Todennäköisyys saada tarkalleen kuutosta on noin .Tämä on tyypillinen binomijakauman tehtävä.
Esimerkki 2: Vähintään k onnistumista
KeskitasoHeitetään kolikkoa kertaa. Mikä on todennäköisyys saada vähintään klaavaa?
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).Jokaisella heitolla todennäköisyys saada klaava on . Kokeet ovat riippumattomia.
- Käytä komplementtitapahtumaa: "vähintään klaavaa" on komplementti tapahtumalle "enintään klaavaa".Komplementtitapahtuma on usein helpompi laskea kuin alkuperäinen tapahtuma.
- Laske komplementtitapahtuman todennäköisyys: .Komplementtitapahtuman todennäköisyys on summa todennäköisyyksistä :sta :ään.
- Laske: , joten .Komplementtitapahtuman todennäköisyys on noin .
- Laske alkuperäisen tapahtuman todennäköisyys: .Alkuperäisen tapahtuman todennäköisyys on miinus komplementtitapahtuman todennäköisyys.
- Vastaus: Todennäköisyys saada vähintään klaavaa on noin .Tämä on tyypillinen binomijakauman tehtävä, jossa käytetään komplementtitapahtumaa.
Esimerkki 3: Odotusarvo ja varianssi
HelppoHeitetään noppaa kertaa. Laske odotusarvo, varianssi ja keskihajonta kuutosten lukumäärälle.
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).Jokaisella heitolla todennäköisyys saada kuutonen on . Kokeet ovat riippumattomia.
- Laske odotusarvo: .Binomijakauman odotusarvo on .
- Laske varianssi: .Binomijakauman varianssi on .
- Laske keskihajonta: .Keskihajonta on varianssin neliöjuuri.
- Vastaus: Odotusarvo on kuutosta, varianssi on ja keskihajonta on kuutosta.Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta kuvaavat binomijakauman keskilukua ja hajontaa.
Esimerkki 4: Enintään k onnistumista
KeskitasoKorttipakassa on korttia. Nostetaan korttia ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys saada enintään ässää?
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).Jokaisella nostolla todennäköisyys saada ässä on . Huomaa, että tämä on likimääräinen, koska kortit nostetaan ilman takaisinpanoa.
- Laske todennäköisyys: .Enintään onnistumista tarkoittaa , tai onnistumista.
- Laske: , ja .Jokainen todennäköisyys lasketaan binomitodennäköisyyden kaavalla.
- Laske summa: .Enintään onnistumista tarkoittaa summaa todennäköisyyksistä :sta :een.
- Vastaus: Todennäköisyys saada enintään ässää on noin .Tämä on tyypillinen binomijakauman tehtävä, jossa lasketaan enintään onnistumista.
Esimerkki 5: Tarkalleen k onnistumista
HelppoTehtaassa tuotteista on viallisia. Valitaan satunnaisesti tuotetta. Mikä on todennäköisyys saada tarkalleen viallista tuotetta?
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisten lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).Jokaisella valinnalla todennäköisyys saada viallinen tuote on . Kokeet ovat riippumattomia (jos otos on riittävän suuri).
- Käytä binomitodennäköisyyden kaavaa: .Binomitodennäköisyys lasketaan kaavalla .
- Laske: , ja , joten .Binomitodennäköisyys on noin .
- Vastaus: Todennäköisyys saada tarkalleen viallista tuotetta on noin .Tämä on tyypillinen binomijakauman tehtävä laadunvalvonnassa.
Esimerkki 6: Monimutkainen binomijakauma
VaikeaKokeessa on kysymystä, joista jokaisessa on vaihtoehtoa. Opiskelija vastaa satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys saada vähintään oikeaa vastausta?
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).Jokaisella kysymyksellä todennäköisyys vastata oikein on , jos vastaa satunnaisesti. Kokeet ovat riippumattomia.
- Käytä komplementtitapahtumaa: "vähintään oikeaa" on komplementti tapahtumalle "enintään oikeaa".Komplementtitapahtuma on usein helpompi laskea kuin alkuperäinen tapahtuma.
- Laske komplementtitapahtuman todennäköisyys: .Komplementtitapahtuman todennäköisyys on summa todennäköisyyksistä :sta :ään.
- Laske likimääräinen arvo: , joten .Komplementtitapahtuman todennäköisyys on noin , joten alkuperäisen tapahtuman todennäköisyys on noin .
- Vastaus: Todennäköisyys saada vähintään oikeaa vastausta on noin .Tämä on hyvin pieni todennäköisyys, koska oikean vastauksen todennäköisyys on pieni ().
Esimerkki
Heitetään kolikkoa kertaa. Mikä on todennäköisyys saada tarkalleen klaavaa?
- Tunnista binomijakauma: (kokeiden lukumäärä), (onnistumisten lukumäärä), (onnistumisen todennäköisyys).
- Käytä binomitodennäköisyyden kaavaa: .
- Laske: ja , joten .
- Vastaus: Todennäköisyys saada tarkalleen klaavaa on noin .
Sovellukset
- Laadunvalvonnassa binomijakaumaa käytetään arvioimaan viallisten tuotteiden lukumääriä. Esimerkiksi tehtaassa testataan otoksia ja lasketaan todennäköisyyksiä, että tietty määrä tuotteita on viallisia.
- Lääketieteessä binomijakaumaa käytetään arvioimaan hoitomenetelmien tehokkuutta. Esimerkiksi lasketaan todennäköisyyksiä, että tietty määrä potilaita paranee hoidosta.
- Genetiikassa binomijakaumaa käytetään arvioimaan geenien periytymistä. Esimerkiksi lasketaan todennäköisyyksiä, että tietty määrä jälkeläisistä perii tietyn geenin.
- Tilastotieteessä binomijakaumaa käytetään otantatutkimuksissa. Esimerkiksi lasketaan todennäköisyyksiä, että tietty määrä vastaajista vastaa tiettyyn kysymykseen kyllä.
Yleisiä virheitä
Binomitodennäköisyyden kaavan unohtaminen
Monet unohtavat binomitodennäköisyyden kaavan tai käyttävät väärää kaavaa. He saattavat laskea sen sijaan, että käyttäisivät oikeaa kaavaa .
Oikein: Binomitodennäköisyyden kaava on . Tärkeää on muistaa sekä kombinaatio että termi .
Toistokokeen ehtojen unohtaminen
Monet unohtavat, että binomijakauma vaatii riippumattomia toistokokeita (Bernoullin kokeita). He saattavat käyttää binomijakaumaa tilanteissa, joissa kokeet eivät ole riippumattomia.
Oikein: Binomijakauma vaatii riippumattomia toistokokeita. Jokaisessa kokeessa on kaksi mahdollista tulosta: onnistuminen (todennäköisyys ) ja epäonnistuminen (todennäköisyys ). Kokeet ovat riippumattomia, eli yhden kokeen tulos ei vaikuta muiden kokeiden tuloksiin.
Odotusarvon ja varianssin kaavojen sekoittaminen
Monet sekoittavat odotusarvon ja varianssin kaavat. He saattavat laskea sen sijaan, että käyttäisivät oikeaa kaavaa .
Oikein: Binomijakauman odotusarvo on ja varianssi on . Muista, että odotusarvo on yksinkertaisempi kuin varianssi.
Vähintään k ja enintään k sekoittaminen
Monet sekoittavat "vähintään " ja "enintään ". He saattavat laskea sen sijaan, että laskisivat tai päinvastoin.
Oikein: "Vähintään " tarkoittaa ja "enintään " tarkoittaa . Muista, että "vähintään" tarkoittaa ja "enintään" tarkoittaa .
Usein kysyttyä
- Mikä on binomijakauma?
- Binomijakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, joka kuvaa onnistumisten lukumäärää :ssä riippumattomassa Bernoullin kokeessa. Bernoullin kokeessa on kaksi mahdollista tulosta: onnistuminen (todennäköisyys ) ja epäonnistuminen (todennäköisyys ). Binomitodennäköisyys lasketaan kaavalla .
- Mikä on toistokoe?
- Toistokoe (Bernoullin koe) on riippumaton koe, jossa on kaksi mahdollista tulosta: onnistuminen (todennäköisyys ) ja epäonnistuminen (todennäköisyys ). Esimerkiksi kolikonheitto, jossa onnistuminen on klaava ja epäonnistuminen on kruuna, on toistokoe.
- Miten lasken binomitodennäköisyyden?
- Binomitodennäköisyys lasketaan kaavalla , missä on kokeiden lukumäärä, on onnistumisten lukumäärä ja on onnistumisen todennäköisyys. Esimerkiksi, jos heitetään kolikkoa kertaa ja halutaan tarkalleen klaavaa, niin .
- Mikä on binomijakauman odotusarvo?
- Binomijakauman odotusarvo on , missä on kokeiden lukumäärä ja on onnistumisen todennäköisyys. Esimerkiksi, jos heitetään noppaa kertaa ja halutaan kuutosten lukumäärä, niin odotusarvo on kuutosta.
- Mikä on binomijakauman varianssi?
- Binomijakauman varianssi on , missä on kokeiden lukumäärä ja on onnistumisen todennäköisyys. Keskihajonta on varianssin neliöjuuri: . Esimerkiksi, jos heitetään noppaa kertaa, niin varianssi on .
- Miten lasken "vähintään k" todennäköisyyttä?
- "Vähintään " tarkoittaa . Usein on helpompaa käyttää komplementtitapahtumaa: . Esimerkiksi, jos halutaan vähintään onnistumista :stä kokeesta, niin .
- Miten lasken "enintään k" todennäköisyyttä?
- "Enintään " tarkoittaa . Esimerkiksi, jos halutaan enintään onnistumista :stä kokeesta, niin .
- Milloin voin käyttää binomijakaumaa?
- Binomijakaumaa voi käyttää, kun täyttyvät seuraavat ehdot: (1) Kokeita on kiinteä määrä , (2) Jokaisessa kokeessa on kaksi mahdollista tulosta (onnistuminen/epäonnistuminen), (3) Onnistumisen todennäköisyys on vakio jokaisessa kokeessa, (4) Kokeet ovat riippumattomia. Jos nämä ehdot eivät täyty, binomijakaumaa ei voi käyttää.
- Mikä ero on binomijakaumalla ja hypergeometrisella jakaumalla?
- Binomijakaumassa kokeet ovat riippumattomia ja onnistumisen todennäköisyys on vakio. Hypergeometrisessa jakaumassa kokeet eivät ole riippumattomia (esimerkiksi nostetaan kortteja ilman takaisinpanoa) ja onnistumisen todennäköisyys muuttuu kokeiden välillä. Binomijakaumaa käytetään, kun otos on pieni suhteessa populaatioon, hypergeometrista jakaumaa käytetään, kun otos on suuri suhteessa populaatioon.
- Voiko binomijakaumaa käyttää jatkuville muuttujille?
- Ei. Binomijakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, joten sitä voi käyttää vain diskreeteille muuttujille (esimerkiksi onnistumisten lukumäärä). Jatkuville muuttujille käytetään jatkuvia jakaumia, kuten normaalijakaumaa.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA8 ja MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion matematiikan kurssit (LOPS21): MAA8 ja MAA12 käsittelevät binomijakaumaa ja Bernoullin kokeita. Osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut binomijakaumasta.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa binomijakaumasta.
- Ylen Abitreenit: Binomijakauma
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali binomijakaumasta.