Ehdollinen todennäköisyys – $P(A|B)$ ja riippumattomuus
Ehdollinen todennäköisyys kuvaa todennäköisyyttä, että tapahtuma tapahtuu, kun tiedetään, että tapahtuma on jo tapahtunut. Ehdollinen todennäköisyys merkitään ja lasketaan kaavalla . Ehdollinen todennäköisyys on keskeinen käsite todennäköisyyslaskennassa ja liittyy tapahtumien riippumattomuuteen. Tämä aihe kuuluu lukion pitkän matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään erityisesti kurssissa MAA12: Tilastot ja todennäköisyys. Tällä sivulla opit ehdollisen todennäköisyyden laskemisen ja tapahtumien riippumattomuuden tarkistamisen.
Kaavat
(ehdollinen todennäköisyys, kun )
(kertolaskusääntö)
(kun ja ovat riippumattomia)
(kun ja ovat riippumattomia)
(yleinen kertolaskusääntö)
(yhdisteen todennäköisyys)
Säännöt
Ehdollinen todennäköisyys
(kun )
Kertolaskusääntö
Riippumattomuus
ja ovat riippumattomia, jos
Ehdollinen todennäköisyys riippumattomille
, jos ja ovat riippumattomia
Yleinen kertolaskusääntö
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen ehdollinen todennäköisyys
HelppoHeitetään noppaa. Mikä on todennäköisyys saada parillinen silmäluku, kun tiedetään, että silmäluku on suurempi kuin ?
- Määritä tapahtumat: (parillinen) ja (suurempi kuin ).Tapahtuma on "parillinen silmäluku" ja tapahtuma on "silmäluku on suurempi kuin ".
- Laske leikkaus: , joten .Leikkaus on "parillinen ja suurempi kuin ", eli silmäluvut ja .
- Laske ehdollinen todennäköisyys: .Ehdollinen todennäköisyys lasketaan kaavalla .
- Vastaus: Todennäköisyys saada parillinen silmäluku, kun silmäluku on suurempi kuin , on .Kun tiedetään, että silmäluku on suurempi kuin , mahdolliset tulokset ovat , joista on parillisia.
Esimerkki 2: Kertolaskusääntö
KeskitasoKorttipakassa on korttia. Nostetaan kaksi korttia peräkkäin ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys saada kaksi ässää?
- Määritä tapahtumat: ja .Tapahtuma on "ensimmäinen kortti on ässä" ja tapahtuma on "toinen kortti on ässä".
- Laske ensimmäisen kortin todennäköisyys: .Ensimmäisellä nostolla ässiä on kappaletta :sta kortista.
- Laske toisen kortin ehdollinen todennäköisyys: .Jos ensimmäinen kortti on ässä, jäljellä on ässää :stä kortista.
- Käytä kertolaskusääntöä: .Kertolaskusäännön mukaan molempien tapahtumien todennäköisyys on ensimmäisen todennäköisyys kertaa toisen ehdollinen todennäköisyys.
- Vastaus: Todennäköisyys saada kaksi ässää on .Tämä on hyvin pieni todennäköisyys, koska ässiä on vähän pakassa.
Esimerkki 3: Riippumattomuus
HelppoHeitetään noppaa kahdesti. Ovatko tapahtumat "ensimmäinen heitto on " ja "toinen heitto on " riippumattomia?
- Määritä tapahtumat: ja .Tapahtuma on "ensimmäinen heitto on " ja tapahtuma on "toinen heitto on ".
- Laske todennäköisyydet: ja .Jokaisella heitolla todennäköisyys saada on .
- Laske leikkaus: .Molempien heittojen tulee olla , joten todennäköisyys on .
- Tarkista riippumattomuus: .Koska , tapahtumat ovat riippumattomia.
- Vastaus: Kyllä, tapahtumat ovat riippumattomia, koska ensimmäisen heiton tulos ei vaikuta toisen heiton todennäköisyyteen.Nopanheitot ovat riippumattomia, koska jokainen heitto on itsenäinen.
Esimerkki 4: Ei-riippumattomuus
KeskitasoKorttipakassa on korttia. Nostetaan kaksi korttia peräkkäin ilman takaisinpanoa. Ovatko tapahtumat "ensimmäinen kortti on ässä" ja "toinen kortti on ässä" riippumattomia?
- Määritä tapahtumat: ja .Tapahtuma on "ensimmäinen kortti on ässä" ja tapahtuma on "toinen kortti on ässä".
- Laske todennäköisyydet: ja .Ennen ensimmäistä nostoa ässiä on kappaletta :sta kortista.
- Laske leikkaus: .Jos ensimmäinen kortti on ässä, jäljellä on ässää :stä kortista.
- Tarkista riippumattomuus: , mutta .Koska , tapahtumat eivät ole riippumattomia.
- Vastaus: Ei, tapahtumat eivät ole riippumattomia, koska ensimmäisen kortin nosto vaikuttaa toisen kortin todennäköisyyteen.Koska kortit nostetaan ilman takaisinpanoa, ensimmäisen kortin nosto muuttaa toisen kortin todennäköisyyttä.
Esimerkki 5: Bayesin kaava
VaikeaTehtaassa tuotteista valmistetaan koneella ja koneella . Koneella valmistetuista tuotteista on viallisia ja koneella valmistetuista on viallisia. Jos tuote on viallinen, mikä on todennäköisyys, että se on valmistettu koneella ?
- Määritä tapahtumat: , ja .Tapahtuma on "tuote on valmistettu koneella ", tapahtuma on "tuote on valmistettu koneella " ja tapahtuma on "tuote on viallinen".
- Laske todennäköisyydet: , , ja .Todennäköisyydet annetaan tehtävässä.
- Laske kokonaistodennäköisyys: .Kokonaistodennäköisyys lasketaan kaavalla .
- Käytä Bayesin kaavaa: .Bayesin kaavan mukaan ehdollinen todennäköisyys on .
- Vastaus: Todennäköisyys, että viallinen tuote on valmistettu koneella , on noin .Vaikka koneella valmistetaan enemmän tuotteita, viallisten osuus on pienempi, joten todennäköisyys on alle .
Esimerkki 6: Kolme tapahtumaa
KeskitasoUrnassa on punaista, sinistä ja vihreää palloa. Nostetaan kolme palloa peräkkäin ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys saada punainen, sininen ja vihreä tässä järjestyksessä?
- Määritä tapahtumat: , ja .Tapahtuma on "ensimmäinen pallo on punainen", tapahtuma on "toinen pallo on sininen" ja tapahtuma on "kolmas pallo on vihreä".
- Laske ensimmäisen pallon todennäköisyys: .Ensimmäisellä nostolla punaisia palloja on kappaletta :sta pallosta.
- Laske toisen pallon ehdollinen todennäköisyys: .Jos ensimmäinen pallo on punainen, jäljellä on sinistä palloa :stä pallosta.
- Laske kolmannen pallon ehdollinen todennäköisyys: .Jos ensimmäinen pallo on punainen ja toinen sininen, jäljellä on vihreää palloa :sta pallosta.
- Käytä yleistä kertolaskusääntöä: .Yleisen kertolaskusäännön mukaan kaikkien kolmen tapahtuman todennäköisyys on ensimmäisen todennäköisyys kertaa toisen ehdollinen todennäköisyys kertaa kolmannen ehdollinen todennäköisyys.
- Vastaus: Todennäköisyys saada punainen, sininen ja vihreä tässä järjestyksessä on .Tämä on pieni todennäköisyys, koska järjestys on tarkka.
Esimerkki
Korttipakassa on korttia. Nostetaan yksi kortti. Mikä on todennäköisyys saada ässä, kun tiedetään, että kortti on hertta?
- Määritä tapahtumat: ja .
- Laske todennäköisyydet: ja .
- Käytä ehdollisen todennäköisyyden kaavaa: .
- Vastaus: Todennäköisyys saada ässä, kun kortti on hertta, on .
Sovellukset
- Lääketieteessä ehdollista todennäköisyyttä käytetään diagnosointiin. Esimerkiksi testin tarkkuus ja sairauden esiintyvyys yhdistetään Bayesin kaavalla laskemaan todennäköisyyttä, että potilas on sairas, kun testi on positiivinen.
- Koneoppimisessa ehdollista todennäköisyyttä käytetään luokittelussa ja päätöksenteossa. Esimerkiksi sähköpostin roskapostisuodattimet käyttävät ehdollista todennäköisyyttä tunnistaakseen roskapostin.
- Vakuutusmatematiikassa ehdollista todennäköisyyttä käytetään riskien arvioinnissa. Esimerkiksi vakuutusyhtiöt laskevat todennäköisyyksiä eri vahinkotilanteille eri riskitekijöiden perusteella.
- Tilastotieteessä ehdollista todennäköisyyttä käytetään riippuvuuksien analysoinnissa. Esimerkiksi korrelaatio ja regressio perustuvat ehdollisiin todennäköisyyksiin.
Yleisiä virheitä
Ehdollisen todennäköisyyden kaavan sekoittaminen
Monet sekoittavat ehdollisen todennäköisyyden kaavan. He saattavat laskea sen sijaan, että käyttäisivät oikeaa kaavaa .
Oikein: Ehdollisen todennäköisyyden kaava on , ei . Tärkeää on muistaa leikkaus osoittajassa.
Riippumattomuuden ja ehdollisen todennäköisyyden sekoittaminen
Monet sekoittavat riippumattomuuden ja ehdollisen todennäköisyyden. He saattavat ajatella, että riippumattomat tapahtumat eivät voi olla ehdollisia.
Oikein: Riippumattomat tapahtumat voivat olla ehdollisia. Riippumattomuus tarkoittaa, että , eli ehdollinen todennäköisyys on sama kuin ehdottoman todennäköisyys. Tämä tarkoittaa, että tapahtuma ei vaikuta tapahtuman todennäköisyyteen.
Kertolaskusäännön unohtaminen
Monet unohtavat kertolaskusäännön ja laskevat leikkauksen todennäköisyyden väärin. He saattavat laskea sen sijaan, että käyttäisivät kertolaskusääntöä.
Oikein: Kertolaskusääntö on . Jos tapahtumat ovat riippumattomia, käytä kaavaa . Muista, että leikkaus lasketaan kertolaskulla, ei yhteenlaskulla.
Riippumattomuuden tarkistaminen väärin
Monet tarkistavat riippumattomuuden väärin. He saattavat ajatella, että jos , niin tapahtumat ovat riippumattomia, mutta eivät tarkista myös päinvastaista.
Oikein: Riippumattomuus tarkistetaan kaavalla . Tämä on ekvivalentti ehdolle ja . Tarkista aina molemmat suunnat.
Usein kysyttyä
- Mikä on ehdollinen todennäköisyys?
- Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu, kun tiedetään, että tapahtuma on jo tapahtunut. Ehdollinen todennäköisyys lasketaan kaavalla , kun .
- Mikä on kertolaskusääntö?
- Kertolaskusääntö on . Tämä tarkoittaa, että molempien tapahtumien todennäköisyys on ensimmäisen tapahtuman todennäköisyys kertaa toisen tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ensimmäisen tapahtuman ehdolla.
- Mitä tarkoittaa, että tapahtumat ovat riippumattomia?
- Tapahtumat ja ovat riippumattomia, jos . Tämä tarkoittaa, että tapahtuma ei vaikuta tapahtuman todennäköisyyteen, eli .
- Miten tarkistan, ovatko tapahtumat riippumattomia?
- Tarkista riippumattomuus kaavalla . Jos yhtälö pätee, tapahtumat ovat riippumattomia. Jos ei, tapahtumat eivät ole riippumattomia. Vaihtoehtoisesti voit tarkistaa, että ja .
- Mikä on Bayesin kaava?
- Bayesin kaava on . Bayesin kaavaa käytetään päivittämään todennäköisyyksiä uuden tiedon perusteella. Se on erityisesti hyödyllinen diagnosointitehtävissä.
- Miten lasken ehdollisen todennäköisyyden, kun leikkaus on annettu?
- Jos leikkaus ja ehto ovat annettuja, käytä kaavaa . Jos tapahtumat ovat riippumattomia, käytä kaavaa .
- Voiko ehdollinen todennäköisyys olla suurempi kuin ehdoton todennäköisyys?
- Kyllä. Ehdollinen todennäköisyys voi olla suurempi, pienempi tai sama kuin ehdoton todennäköisyys. Esimerkiksi, jos ja ovat positiivisesti korreloituja, . Jos ne ovat negatiivisesti korreloituja, . Jos ne ovat riippumattomia, .
- Mikä on kokonaistodennäköisyys?
- Kokonaistodennäköisyys on todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu, kun otetaan huomioon kaikki mahdolliset tapaukset. Kokonaistodennäköisyys lasketaan kaavalla , missä ovat erillisiä tapahtumia, joiden yhdiste on otosavaruus.
- Miten lasken useamman tapahtuman leikkauksen todennäköisyyttä?
- Useamman tapahtuman leikkauksen todennäköisyys lasketaan yleisellä kertolaskusäännöllä: . Jos kaikki tapahtumat ovat riippumattomia, käytä kaavaa .
- Mikä ero on ehdollisella todennäköisyydellä ja ehdottomalla todennäköisyydellä?
- Ehdollinen todennäköisyys ottaa huomioon tiedon, että tapahtuma on tapahtunut. Ehdoton todennäköisyys ei ota huomioon tätä tietoa. Ehdollinen todennäköisyys voi olla eri kuin ehdoton todennäköisyys, paitsi jos tapahtumat ovat riippumattomia.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion pitkän matematiikan kurssi (LOPS21), joka käsittelee ehdollista todennäköisyyttä ja tapahtumien riippumattomuutta. Tämä kurssi on osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut ehdollisesta todennäköisyydestä.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa ehdollisesta todennäköisyydestä.
- Ylen Abitreenit: Ehdollinen todennäköisyys
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali ehdollisesta todennäköisyydestä.