Hajontaluvut – varianssi ja keskihajonta
Hajontaluvut kuvaavat, kuinka paljon arvot vaihtelevat keskiarvon ympärillä. Kaksi aineistoa voi olla keskiarvoltaan sama, mutta toisessa luvut ovat tasaisempia ja toisessa hajallaan. Varianssi ja keskihajonta mittavat tätä hajontaa. Tämä aihe kuuluu lukion matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään kursseilla MAA8: Tilastot ja todennäköisyys ja MAA12. Tällä sivulla kaikki esimerkit perustuvat yhteen aineistoon, jotta näet selkeästi miten ja lasketaan ja tulkitaan.
Kaavat
Otosvarianssi
Varianssi mittaa hajontaa keskiarvon ympärillä: poikkeamat neliöidään (jotta plus- ja miinusetäisyydet eivät kumoa toisiaan), ja otoksessa jakaja on (ei ), jotta estimaatti on harhaton.
- Otosvarianssi
- Otoksen keskiarvo
- Havaintojen lukumäärä
- Poikkeaman neliö
Otokeskihajonta
Keskihajonta on varianssin neliöjuuri. Sama yksikkö kuin alkuperäiset arvot (esim. pisteet), joten sitä on helpompi tulkita kuin varianssia: se kertoo tyypillisen etäisyyden keskiarvosta. Suurempi tarkoittaa enemmän vaihtelua.
- Otokeskihajonta
- Otosvarianssi
Populaatiovarianssi
Kun data on koko populaatio (ei otos), käytetään jakajaa ja populaation keskiarvoa . Sama laskenta kuin , mutta jakaja on (ei ), koska harhattomuuskorjausta ei tarvita. Käytännössä harvemmin lasketaan kuin otosvarianssi.
- Populaatiovarianssi
- Populaation keskiarvo
Populaatiokeskihajonta
Populaatiovarianssin neliöjuuri, sama tulkinta kuin otoksessa.
- Populaatiokeskihajonta
Vaihtoehtoinen kaava varianssille
Sama tulos kuin peruskaavalla, mutta laskennallisesti kätevä: ei tarvitse laskea jokaisen poikkeaman neliötä erikseen. Käytä kun keskiarvo on jo laskettu.
- Arvojen neliöiden summa
- Havaintomäärä × keskiarvon neliö
Säännöt
Otosvarianssi
Poikkeamien neliöiden keskiarvo, jakaja .
Otokeskihajonta
Neliöjuuri varianssista; sama yksikkö kuin .
Populaatiovarianssi
Poikkeamien neliöiden keskiarvo, jakaja .
Populaatiokeskihajonta
Populaatiovarianssin neliöjuuri.
Vaihtoehtoinen kaava
Kätevä laskuun, kun keskiarvo on jo laskettu.
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen varianssi
HelppoLaske varianssi aineistolle: .
- Laske keskiarvo: .Varianssi lasketaan keskiarvon suhteen, joten täytyy ensin laskea keskiarvo.
- Laske poikkeamat: , , , , .Varianssi lasketaan laskemalla jokaisen arvon poikkeama keskiarvosta ja neliöimällä se.
- Laske varianssi: .Otosvarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä (ei :llä).
- Vastaus: Varianssi on .Tämä on tyypillinen varianssin laskenta.
Esimerkki 2: Keskihajonta
HelppoLaske keskihajonta aineistolle: .
- Laske keskiarvo: .Keskihajonta lasketaan varianssin neliöjuurena, joten täytyy ensin laskea varianssi.
- Laske poikkeamat: , , , , .Varianssi lasketaan laskemalla jokaisen arvon poikkeama keskiarvosta ja neliöimällä se.
- Laske varianssi: .Otosvarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä.
- Laske keskihajonta: .Keskihajonta on varianssin neliöjuuri.
- Vastaus: Keskihajonta on noin .Tämä on tyypillinen keskihajonnan laskenta.
Esimerkki 3: Vaihtoehtoinen kaava
KeskitasoLaske varianssi aineistolle: käyttämällä vaihtoehtoista kaavaa.
- Laske arvojen neliöiden summa: .Vaihtoehtoinen kaava käyttää arvojen neliöiden summaa.
- Laske keskiarvo: .Keskiarvo tarvitaan vaihtoehtoisessa kaavassa.
- Laske varianssi: .Vaihtoehtoinen kaava on .
- Vastaus: Varianssi on .Tämä on tyypillinen varianssin laskenta vaihtoehtoisella kaavalla.
Esimerkki 4: Populaatiovarianssi
KeskitasoLaske populaatiovarianssi ja populaatiokeskihajonta aineistolle: (koko populaatio).
- Laske populaation keskiarvo: .Populaatiovarianssi lasketaan populaation keskiarvon suhteen.
- Laske poikkeamat: , , , , .Populaatiovarianssi lasketaan laskemalla jokaisen arvon poikkeama populaation keskiarvosta ja neliöimällä se.
- Laske populaatiovarianssi: .Populaatiovarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä (ei :llä).
- Laske populaatiokeskihajonta: .Populaatiokeskihajonta on populaatiovarianssin neliöjuuri.
- Vastaus: Populaatiovarianssi on ja populaatiokeskihajonta on noin .Tämä on tyypillinen populaatiovarianssin ja populaatiokeskihajonnan laskenta.
Esimerkki 5: Frekvenssijakauma
VaikeaLaske varianssi ja keskihajonta frekvenssijakaumalle: arvo (frekvenssi ), arvo (frekvenssi ), arvo (frekvenssi ).
- Laske keskiarvo: .Keskiarvo lasketaan painotettuna keskiarvona frekvenssien avulla.
- Laske poikkeamat: , , .Varianssi lasketaan laskemalla jokaisen arvon poikkeama keskiarvosta ja neliöimällä se.
- Laske varianssi: .Frekvenssijakaumassa varianssi lasketaan painotettuna keskiarvona frekvenssien avulla.
- Laske keskihajonta: .Keskihajonta on varianssin neliöjuuri.
- Vastaus: Varianssi on noin ja keskihajonta on noin .Tämä on tyypillinen varianssin ja keskihajonnan laskenta frekvenssijakaumalle.
Esimerkki 6: Tulkinta
HelppoKoeiden pisteet ovat: ryhmä A: keskiarvo , keskihajonta ; ryhmä B: keskiarvo , keskihajonta . Vertaile ryhmiä.
- Tunnista keskiarvot: Molemmilla ryhmillä keskiarvo on , joten keskiluku on sama.Keskiarvot ovat samat, joten keskiluku on sama molemmilla ryhmillä.
- Tunnista keskihajonnat: Ryhmällä A keskihajonta on ja ryhmällä B keskihajonta on .Keskihajonnat ovat erilaiset, joten hajonta on erilainen molemmilla ryhmillä.
- Tulkitse: Ryhmällä A pisteet ovat lähempänä keskiarvoa (pienempi hajonta), joten pisteet ovat tasaisempia. Ryhmällä B pisteet ovat kauempana keskiarvosta (suurempi hajonta), joten pisteet vaihtelevat enemmän.Pienempi keskihajonta tarkoittaa, että arvot ovat lähempänä keskiarvoa ja tasaisempia. Suurempi keskihajonta tarkoittaa, että arvot vaihtelevat enemmän.
- Vastaus: Molemmilla ryhmillä keskiarvo on sama (), mutta ryhmällä A pisteet ovat tasaisempia (keskihajonta ) kuin ryhmällä B (keskihajonta ).Tämä on tyypillinen hajontaluvun tulkinta.
Esimerkki
Laske varianssi ja keskihajonta aineistolle: .
- Laske keskiarvo: .
- Laske poikkeamat: , , , , .
- Laske varianssi: .
- Laske keskihajonta: .
- Vastaus: Varianssi on ja keskihajonta on noin .
Sovellukset
- Tilastotieteessä varianssia ja keskihajontaa käytetään kuvaamaan aineiston hajontaa. Esimerkiksi tutkimuksissa lasketaan varianssi ja keskihajonta eri muuttujille kuvaamaan niiden vaihtelua.
- Laadunvalvonnassa varianssia ja keskihajontaa käytetään kuvaamaan tuotteiden laatua. Esimerkiksi tuotteiden mittausten varianssi ja keskihajonta kuvaavat tuotteiden laadun tasaisuutta.
- Taloustieteessä varianssia ja keskihajontaa käytetään kuvaamaan riskiä. Esimerkiksi sijoitusten tuottojen varianssi ja keskihajonta kuvaavat sijoitusten riskiä.
- Luonnontieteissä varianssia ja keskihajontaa käytetään kuvaamaan mittausvirheitä. Esimerkiksi mittausvirheiden varianssi ja keskihajonta kuvaavat mittauksen tarkkuutta.
Yleisiä virheitä
Otosvarianssin ja populaatiovarianssin sekoittaminen
Monet sekoittavat otosvarianssin ja populaatiovarianssin. He saattavat käyttää jakajaa sen sijaan, että käyttäisivät jakajaa otosvarianssissa.
Oikein: Otosvarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä: . Populaatiovarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä: .
Keskihajonnan laskeminen väärin
Monet unohtavat ottaa neliöjuuren varianssista. He saattavat käyttää varianssia suoraan keskihajontana sen sijaan, että ottaisivat neliöjuuren.
Oikein: Keskihajonta on varianssin neliöjuuri: . Tärkeää on muistaa ottaa neliöjuuri varianssista, ei käyttää varianssia suoraan.
Poikkeamien laskeminen väärin
Monet laskevat poikkeamat väärin. He saattavat laskea sen sijaan, että laskisivat tai unohtavat neliöidä.
Oikein: Varianssi lasketaan laskemalla jokaisen arvon poikkeama keskiarvosta ja neliöimällä se: . Tärkeää on muistaa neliöidä poikkeamat.
Keskiarvon käyttö väärin
Monet käyttävät väärää keskiarvoa. He saattavat käyttää populaation keskiarvoa sen sijaan, että käyttäisivät otoksen keskiarvoa otosvarianssissa.
Oikein: Otosvarianssi lasketaan käyttämällä otoksen keskiarvoa : . Populaatiovarianssi lasketaan käyttämällä populaation keskiarvoa : .
Usein kysyttyä
- Mikä on varianssi?
- Varianssi on poikkeamien neliöiden keskiarvo. Otosvarianssi lasketaan kaavalla , missä on otoksen keskiarvo. Populaatiovarianssi lasketaan kaavalla , missä on populaation keskiarvo. Varianssi kuvaa aineiston hajontaa.
- Mikä on keskihajonta?
- Keskihajonta on varianssin neliöjuuri. Otokeskihajonta lasketaan kaavalla . Populaatiokeskihajonta lasketaan kaavalla . Keskihajonta kuvaa aineiston hajontaa samassa yksikössä kuin alkuperäiset arvot.
- Mikä ero on otosvarianssilla ja populaatiovarianssilla?
- Otosvarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä ja käyttää otoksen keskiarvoa . Populaatiovarianssi lasketaan jakamalla poikkeamien neliöiden summa :llä ja käyttää populaation keskiarvoa . Otosvarianssi on harhaton estimaattori populaatiovarianssille.
- Miksi otosvarianssissa käytetään jakajaa ?
- Otosvarianssissa käytetään jakajaa (ei ), koska se tekee otosvarianssista harhattoman estimaattorin populaatiovarianssille. Tämä johtuu siitä, että otoksen keskiarvo on estimaattori populaation keskiarvosta , ja tämä aiheuttaa pienen harhan, joka korjataan käyttämällä jakajaa .
- Miten tulkitaan keskihajontaa?
- Keskihajonta kuvaa aineiston hajontaa. Pienempi keskihajonta tarkoittaa, että arvot ovat lähempänä keskiarvoa ja tasaisempia. Suurempi keskihajonta tarkoittaa, että arvot vaihtelevat enemmän keskiarvon ympärillä. Keskihajonta on aina positiivinen luku.
- Mikä on vaihtoehtoinen kaava varianssille?
- Vaihtoehtoinen kaava varianssille on . Tämä kaava on usein helpompi käyttää, koska se ei vaadi poikkeamien laskemista. Se perustuu siihen, että .
- Miten lasken varianssin frekvenssijakaumalle?
- Frekvenssijakaumalle varianssi lasketaan painotettuna keskiarvona frekvenssien avulla: , missä on frekvenssi arvolle ja on havaintojen kokonaismäärä.
- Mikä on varianssin ja keskihajonnan suhde?
- Keskihajonta on varianssin neliöjuuri: ja . Varianssi on keskihajonnan neliö: ja . Varianssi on aina positiivinen luku, ja keskihajonta on myös aina positiivinen luku.
- Mikä on parempi: varianssi vai keskihajonta?
- Kumpikaan ei ole parempi, vaan ne kuvaavat aineistoa eri tavoin. Varianssi on keskihajonnan neliö, joten se on suurempi luku. Keskihajonta on varianssin neliöjuuri, joten se on samassa yksikössä kuin alkuperäiset arvot. Usein keskihajonta on helpompi tulkita, koska se on samassa yksikössä kuin alkuperäiset arvot.
- Miten varianssi ja keskihajonta liittyvät normaalijakaumaan?
- Normaalijakaumassa varianssi ja keskihajonta määrittelevät jakauman hajontaa. Suurempi varianssi tai keskihajonta tarkoittaa, että jakauma on leveämpi ja arvot vaihtelevat enemmän. Pienempi varianssi tai keskihajonta tarkoittaa, että jakauma on kapeampi ja arvot vaihtelevat vähemmän. Normaalijakaumassa noin arvoista on välillä ja noin arvoista on välillä .
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA8 ja MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion matematiikan kurssit (LOPS21): MAA8 ja MAA12 käsittelevät hajontaluvuja, varianssia ja keskihajontaa. Osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut hajontaluvuista.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa hajontaluvuista.
- Ylen Abitreenit: Hajontaluvut
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali hajontaluvuista.