Normaalijakauma – Gaussin jakauma ja standardointi
Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on yksi tärkeimmistä todennäköisyysjakaumista tilastotieteessä. Normaalijakauma on symmetrinen ja kellokäyrän muotoinen. Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla . Standardoitu normaalijakauma on normaalijakauma, jossa ja . Normaalijakaumaa käytetään laajasti tilastotieteessä, luonnontieteissä ja yhteiskuntatieteissä. Tämä aihe kuuluu lukion matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään kursseilla MAA8: Tilastot ja todennäköisyys ja MAA12. Tällä sivulla opit normaalijakauman laskemisen, standardoinnin ja normaalijakauman käytön todennäköisyyslaskennassa.
Kaavat
Normaalijakauman tiheysfunktio
Tämä funktio kuvaa normaalijakauman "kellokäyrän" muodon. Pinta-ala käyrän alla välillä antaa todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja saa arvon tältä väliltä. Noin arvoista on välillä , noin välillä .
- Tiheysfunktion arvo pisteessä $x$
- Odotusarvo (jakauman huippu)
- Keskihajonta (käyrän leveys)
- Neperin luku (n. 2.718)
Normaalijakauman merkintä
Lyhenne, jolla kerrotaan, että satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla ja varianssilla (tai keskihajonnalla ).
- Satunnaismuuttuja
- Odotusarvo
- Varianssi (keskihajonta $\sigma$)
Standardointi
Tärkein kaava! Muuttaa minkä tahansa normaalin muuttujan standardoiduksi muuttujaksi . kertoo montako keskihajontaa on keskiarvosta. taulukosta.
- Z-arvo (montako keskihajontaa keskiarvosta)
- Alkuperäinen arvo
- Odotusarvo
- Keskihajonta
Standardoitu normaalijakauma
Keskiarvo , keskihajonta . Kaikki normaalit voidaan standardoida tälle muotoon; taulukot on tehty :lle. symmetrian vuoksi.
- Standardoitu muuttuja
- Kumulatiivinen jakaumafunktio $N(0,1)$-taulukosta
Kumulatiivinen jakaumafunktio
Todennäköisyys että on enintään . Standardointi , sitten taulukosta. Vähintään .
- $N(0,1)$-taulukon arvo
- Standardointi: $(x-\mu)/\sigma$
Todennäköisyys välillä
Välin todennäköisyys = kumulatiivinen ylärajaan miinus kumulatiivinen alarajaan. Standardoi molemmat rajat, hae Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Välin rajat
- Standardoidut rajat $(a-\mu)/\sigma$ ja $(b-\mu)/\sigma$
Säännöt
Normaalijakauman tiheysfunktio
Kellokäyrä: huippu keskiarvossa μ, leveyttä kuvaa σ.
Standardointi
Muunnos z-arvoiksi: montako keskihajontaa arvo on keskiarvosta.
Standardoitu normaalijakauma
Keskiarvo , keskihajonta ; taulukot on tehty tälle jakaumalle.
Kumulatiivinen jakaumafunktio
Todennäköisyys, että on enintään ; on -taulukko.
Todennäköisyys välillä
Välin todennäköisyys = ylärajan Φ miinus alarajan Φ.
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen standardointi
HelppoKoeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on todennäköisyys saada enintään pistettä?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi: , joten .Standardointi muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi, jossa ja .
- Käytä kumulatiivista jakaumafunktiota: .Kumulatiivinen jakaumafunktio antaa todennäköisyyden, että . Arvo löytyy normaalijakaumataulukosta.
- Vastaus: Todennäköisyys saada enintään pistettä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys enintään tiettyyn arvoon.
Esimerkki 2: Vähintään tietty arvo
HelppoKoeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on todennäköisyys saada vähintään pistettä?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi: , joten .Standardointi muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi.
- Käytä symmetriaa: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Vastaus: Todennäköisyys saada vähintään pistettä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys vähintään tiettyyn arvoon.
Esimerkki 3: Todennäköisyys välillä
KeskitasoKoeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on todennäköisyys saada pisteet välillä ?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi molemmat rajat: ja , joten .Standardointi muuttaa molemmat rajat standardoidun normaalijakauman arvoiksi.
- Laske todennäköisyys: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Vastaus: Todennäköisyys saada pisteet välillä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys tietyn välin välillä. Huomaa, että sääntö: noin arvoista on välillä .
Esimerkki 4: Negatiivinen z-arvo
HelppoKoeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on todennäköisyys saada enintään pistettä?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi: , joten .Standardointi antaa negatiivisen z-arvon, koska on pienempi kuin odotusarvo .
- Käytä symmetriaa: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Vastaus: Todennäköisyys saada enintään pistettä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys negatiiviselle z-arvolle.
Esimerkki 5: Prosenttipisteet
VaikeaKoeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on pisteiden arvo, jota suurempia arvoja saadaan todennäköisyydellä?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Määritä todennäköisyys: , joten .Jos arvoista on suurempia kuin , niin arvoista on pienempiä tai yhtä suuria kuin .
- Standardoi: , joten .Standardointi muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi.
- Etsi z-arvo: (normaalijakaumataulukosta).Normaalijakaumataulukosta löytyy z-arvo, jolle . Tämä on noin .
- Muunna takaisin: .Käänteinen standardointi muuttaa z-arvon takaisin alkuperäiseksi arvoksi.
- Vastaus: Pisteiden arvo, jota suurempia arvoja saadaan todennäköisyydellä, on noin pistettä.Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa etsitään prosenttipistettä.
Esimerkki 6: Monimutkainen normaalijakauma
KeskitasoKoeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on todennäköisyys saada pisteet välillä ?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi molemmat rajat: ja , joten .Standardointi muuttaa molemmat rajat standardoidun normaalijakauman arvoiksi.
- Laske todennäköisyys: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Laske: ja , joten .Normaalijakaumataulukosta löytyvät arvot ja .
- Vastaus: Todennäköisyys saada pisteet välillä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys tietyn välin välillä.
Esimerkki
Koeiden pisteet noudattavat normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla . Mikä on todennäköisyys saada vähintään pistettä?
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .
- Standardoi: , joten .
- Käytä symmetriaa: .
- Vastaus: Todennäköisyys saada vähintään pistettä on noin .
Sovellukset
- Tilastotieteessä normaalijakaumaa käytetään laajasti otantatutkimuksissa ja tilastollisessa päätöksenteossa. Esimerkiksi keskiarvot ja otoskeskiarvot noudattavat usein normaalijakaumaa keskeisen raja-arvolauseen perusteella.
- Luonnontieteissä normaalijakaumaa käytetään mallintamaan luonnollisia ilmiöitä. Esimerkiksi mittausvirheet, pituudet, painot ja muut jatkuvat muuttujat noudattavat usein normaalijakaumaa.
- Yhteiskuntatieteissä normaalijakaumaa käytetään mallintamaan ihmisten ominaisuuksia. Esimerkiksi älykkyysosamäärä, koulutustaso ja tulot noudattavat usein normaalijakaumaa.
- Laadunvalvonnassa normaalijakaumaa käytetään arvioimaan tuotteiden laatua. Esimerkiksi tuotteiden mitat ja painot noudattavat usein normaalijakaumaa.
Yleisiä virheitä
Standardointikaavan unohtaminen
Monet unohtavat standardointikaavan tai käyttävät väärää kaavaa. He saattavat laskea sen sijaan, että käyttäisivät oikeaa kaavaa .
Oikein: Standardointikaava on . Tärkeää on muistaa vähentää odotusarvo ennen jakamista keskihajonnalla .
Negatiivisten z-arvojen käsittely
Monet eivät osaa käsitellä negatiivisia z-arvoja. He saattavat ajatella, että sen sijaan, että käyttäisivät symmetriaa .
Oikein: Koska normaalijakauma on symmetrinen, . Tämä tarkoittaa, että negatiivisten z-arvojen todennäköisyydet voidaan laskea positiivisten z-arvojen avulla.
Välin todennäköisyyden laskeminen väärin
Monet laskevat välin todennäköisyyden väärin. He saattavat laskea sen sijaan, että standardoisivat ensin.
Oikein: Välin todennäköisyys lasketaan kaavalla . Tärkeää on standardoida molemmat rajat ennen laskemista.
Kumulatiivisen jakaumafunktion käyttö väärin
Monet käyttävät kumulatiivista jakaumafunktiota väärin. He saattavat laskea sen sijaan, että käyttäisivät symmetriaa .
Oikein: Kumulatiivinen jakaumafunktio antaa todennäköisyyden . Jos halutaan , käytä symmetriaa: .
Usein kysyttyä
- Mikä on normaalijakauma?
- Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on symmetrinen ja kellokäyrän muotoinen. Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla ja merkitään . Normaalijakauman tiheysfunktio on .
- Mikä on standardointi?
- Standardointi on muunnos, joka muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi. Standardointi tehdään kaavalla , missä on alkuperäinen muuttuja, on odotusarvo ja on keskihajonta. Standaroitu normaalijakauma on , jossa ja .
- Mikä on standardoitu normaalijakauma?
- Standardoitu normaalijakauma on normaalijakauma, jossa ja . Se merkitään . Standaroitu normaalijakauma on tärkeä, koska sen avulla voidaan laskea minkä tahansa normaalijakauman todennäköisyyksiä standardoimalla ja käyttämällä normaalijakaumataulukkoa.
- Miten lasken todennäköisyyden normaalijakaumasta?
- Todennäköisyys lasketaan standardoimalla ja käyttämällä kumulatiivista jakaumafunktiota. Esimerkiksi , missä on standardoidun normaalijakauman kumulatiivinen jakaumafunktio. Arvo löytyy normaalijakaumataulukosta.
- Mikä on sääntö?
- sääntö sanoo, että noin normaalijakauman arvoista on välillä . Vastaavasti noin arvoista on välillä ja noin arvoista on välillä .
- Miten lasken todennäköisyyden välillä ?
- Todennäköisyys välillä lasketaan kaavalla . Tämä tarkoittaa, että standardoidaan molemmat rajat ja vähennetään pienemmän z-arvon todennäköisyys suuremmasta z-arvon todennäköisyydestä.
- Miten käsittelen negatiivisia z-arvoja?
- Koska normaalijakauma on symmetrinen, negatiivisten z-arvojen todennäköisyydet voidaan laskea positiivisten z-arvojen avulla. Symmetrian mukaan . Esimerkiksi .
- Mikä on prosenttipiste?
- Prosenttipiste on arvo, jota suurempia (tai pienempiä) arvoja saadaan tietty prosenttiosuus todennäköisyydellä. Esimerkiksi prosenttipiste on arvo, jota suurempia arvoja saadaan todennäköisyydellä. Prosenttipiste lasketaan käänteisellä standardoinnilla: , missä on z-arvo, jolle .
- Miksi normaalijakauma on tärkeä?
- Normaalijakauma on tärkeä, koska se esiintyy laajasti luonnossa ja tilastotieteessä. Keskeisen raja-arvolauseen perusteella monet otoskeskiarvot noudattavat normaalijakaumaa, vaikka alkuperäinen jakauma ei olisi normaalijakauma. Normaalijakaumaa käytetään laajasti tilastollisessa päätöksenteossa ja testauksessa.
- Voiko normaalijakaumaa käyttää diskreeteille muuttujille?
- Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joten sitä käytetään jatkuville muuttujille. Diskreeteille muuttujille käytetään diskreettejä jakaumia, kuten binomijakaumaa. Kuitenkin binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla, kun on suuri ja ei ole liian lähellä tai .
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA8 ja MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion matematiikan kurssit (LOPS21): MAA8 ja MAA12 käsittelevät normaalijakaumaa ja standardointia. Osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut normaalijakaumasta.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa normaalijakaumasta.
- Ylen Abitreenit: Normaalijakauma
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali normaalijakaumasta.