Normaalijakauma – Gaussin jakauma ja standardointi
Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on yksi tärkeimmistä todennäköisyysjakaumista tilastotieteessä. Normaalijakauma on symmetrinen ja kellokäyrän muotoinen. Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla . Standardoitu normaalijakauma on normaalijakauma, jossa ja . Normaalijakaumaa käytetään laajasti tilastotieteessä, luonnontieteissä ja yhteiskuntatieteissä. Tämä aihe kuuluu lukion matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään kursseilla MAA8: Tilastot ja todennäköisyys ja MAA12. Tällä sivulla opit normaalijakauman laskemisen, standardoinnin ja normaalijakauman käytön todennäköisyyslaskennassa.
Kaavat
Normaalijakauman tiheysfunktio
- Tiheysfunktion arvo pisteessä $x$
- Odotusarvo (jakauman huippu)
- Keskihajonta (käyrän leveys)
- Neperin luku (n. 2.718)
Normaalijakauman merkintä
- Satunnaismuuttuja
- Odotusarvo
- Varianssi (keskihajonta $\sigma$)
Standardointi
- Z-arvo (montako keskihajontaa keskiarvosta)
- Alkuperäinen arvo
- Odotusarvo
- Keskihajonta
Standardoitu normaalijakauma
- Standardoitu muuttuja
- Kumulatiivinen jakaumafunktio $N(0,1)$-taulukosta
Kumulatiivinen jakaumafunktio
- $N(0,1)$-taulukon arvo
- Standardointi: $(x-\mu)/\sigma$
Todennäköisyys välillä
- Välin rajat
- Standardoidut rajat $(a-\mu)/\sigma$ ja $(b-\mu)/\sigma$
Säännöt
Normaalijakauman tiheysfunktio
Standardointi
Standardoitu normaalijakauma
Kumulatiivinen jakaumafunktio
Todennäköisyys välillä
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksinkertainen standardointi
Helppo- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi: , joten .Standardointi muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi, jossa ja .
- Käytä kumulatiivista jakaumafunktiota: .Kumulatiivinen jakaumafunktio antaa todennäköisyyden, että . Arvo löytyy normaalijakaumataulukosta.
- Vastaus: Todennäköisyys saada enintään pistettä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys enintään tiettyyn arvoon.
Esimerkki 2: Vähintään tietty arvo
Helppo- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi: , joten .Standardointi muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi.
- Käytä symmetriaa: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Vastaus: Todennäköisyys saada vähintään pistettä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys vähintään tiettyyn arvoon.
Esimerkki 3: Todennäköisyys välillä
Keskitaso- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi molemmat rajat: ja , joten .Standardointi muuttaa molemmat rajat standardoidun normaalijakauman arvoiksi.
- Laske todennäköisyys: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Vastaus: Todennäköisyys saada pisteet välillä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys tietyn välin välillä. Huomaa, että sääntö: noin arvoista on välillä .
Esimerkki 4: Negatiivinen z-arvo
Helppo- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi: , joten .Standardointi antaa negatiivisen z-arvon, koska on pienempi kuin odotusarvo .
- Käytä symmetriaa: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Vastaus: Todennäköisyys saada enintään pistettä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys negatiiviselle z-arvolle.
Esimerkki 5: Prosenttipisteet
Vaikea- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Määritä todennäköisyys: , joten .Jos arvoista on suurempia kuin , niin arvoista on pienempiä tai yhtä suuria kuin .
- Standardoi: , joten .Standardointi muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi.
- Etsi z-arvo: (normaalijakaumataulukosta).Normaalijakaumataulukosta löytyy z-arvo, jolle . Tämä on noin .
- Muunna takaisin: .Käänteinen standardointi muuttaa z-arvon takaisin alkuperäiseksi arvoksi.
- Vastaus: Pisteiden arvo, jota suurempia arvoja saadaan todennäköisyydellä, on noin pistettä.Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa etsitään prosenttipistettä.
Esimerkki 6: Monimutkainen normaalijakauma
Keskitaso- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla .
- Standardoi molemmat rajat: ja , joten .Standardointi muuttaa molemmat rajat standardoidun normaalijakauman arvoiksi.
- Laske todennäköisyys: .Koska normaalijakauma on symmetrinen, .
- Laske: ja , joten .Normaalijakaumataulukosta löytyvät arvot ja .
- Vastaus: Todennäköisyys saada pisteet välillä on noin .Tämä on tyypillinen normaalijakauman tehtävä, jossa lasketaan todennäköisyys tietyn välin välillä.
Esimerkki
- Tunnista normaalijakauma: , joten ja .
- Standardoi: , joten .
- Käytä symmetriaa: .
- Vastaus: Todennäköisyys saada vähintään pistettä on noin .
Sovellukset
- Tilastotieteessä normaalijakaumaa käytetään laajasti otantatutkimuksissa ja tilastollisessa päätöksenteossa. Esimerkiksi keskiarvot ja otoskeskiarvot noudattavat usein normaalijakaumaa keskeisen raja-arvolauseen perusteella.
- Luonnontieteissä normaalijakaumaa käytetään mallintamaan luonnollisia ilmiöitä. Esimerkiksi mittausvirheet, pituudet, painot ja muut jatkuvat muuttujat noudattavat usein normaalijakaumaa.
- Yhteiskuntatieteissä normaalijakaumaa käytetään mallintamaan ihmisten ominaisuuksia. Esimerkiksi älykkyysosamäärä, koulutustaso ja tulot noudattavat usein normaalijakaumaa.
- Laadunvalvonnassa normaalijakaumaa käytetään arvioimaan tuotteiden laatua. Esimerkiksi tuotteiden mitat ja painot noudattavat usein normaalijakaumaa.
Yleisiä virheitä
Standardointikaavan unohtaminen
Negatiivisten z-arvojen käsittely
Välin todennäköisyyden laskeminen väärin
Kumulatiivisen jakaumafunktion käyttö väärin
Usein kysyttyä
- Mikä on normaalijakauma?
- Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka on symmetrinen ja kellokäyrän muotoinen. Normaalijakauma määritellään odotusarvolla ja keskihajonnalla ja merkitään . Normaalijakauman tiheysfunktio on .
- Mikä on standardointi?
- Standardointi on muunnos, joka muuttaa normaalijakauman standardoiduksi normaalijakaumaksi. Standardointi tehdään kaavalla , missä on alkuperäinen muuttuja, on odotusarvo ja on keskihajonta. Standaroitu normaalijakauma on , jossa ja .
- Mikä on standardoitu normaalijakauma?
- Standardoitu normaalijakauma on normaalijakauma, jossa ja . Se merkitään . Standaroitu normaalijakauma on tärkeä, koska sen avulla voidaan laskea minkä tahansa normaalijakauman todennäköisyyksiä standardoimalla ja käyttämällä normaalijakaumataulukkoa.
- Miten lasken todennäköisyyden normaalijakaumasta?
- Todennäköisyys lasketaan standardoimalla ja käyttämällä kumulatiivista jakaumafunktiota. Esimerkiksi , missä on standardoidun normaalijakauman kumulatiivinen jakaumafunktio. Arvo löytyy normaalijakaumataulukosta.
- Mikä on sääntö?
- sääntö sanoo, että noin normaalijakauman arvoista on välillä . Vastaavasti noin arvoista on välillä ja noin arvoista on välillä .
- Miten lasken todennäköisyyden välillä ?
- Todennäköisyys välillä lasketaan kaavalla . Tämä tarkoittaa, että standardoidaan molemmat rajat ja vähennetään pienemmän z-arvon todennäköisyys suuremmasta z-arvon todennäköisyydestä.
- Miten käsittelen negatiivisia z-arvoja?
- Koska normaalijakauma on symmetrinen, negatiivisten z-arvojen todennäköisyydet voidaan laskea positiivisten z-arvojen avulla. Symmetrian mukaan . Esimerkiksi .
- Mikä on prosenttipiste?
- Prosenttipiste on arvo, jota suurempia (tai pienempiä) arvoja saadaan tietty prosenttiosuus todennäköisyydellä. Esimerkiksi prosenttipiste on arvo, jota suurempia arvoja saadaan todennäköisyydellä. Prosenttipiste lasketaan käänteisellä standardoinnilla: , missä on z-arvo, jolle .
- Miksi normaalijakauma on tärkeä?
- Normaalijakauma on tärkeä, koska se esiintyy laajasti luonnossa ja tilastotieteessä. Keskeisen raja-arvolauseen perusteella monet otoskeskiarvot noudattavat normaalijakaumaa, vaikka alkuperäinen jakauma ei olisi normaalijakauma. Normaalijakaumaa käytetään laajasti tilastollisessa päätöksenteossa ja testauksessa.
- Voiko normaalijakaumaa käyttää diskreeteille muuttujille?
- Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joten sitä käytetään jatkuville muuttujille. Diskreeteille muuttujille käytetään diskreettejä jakaumia, kuten binomijakaumaa. Kuitenkin binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla, kun on suuri ja ei ole liian lähellä tai .
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA8 ja MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion matematiikan kurssit (LOPS21): MAA8 ja MAA12 käsittelevät normaalijakaumaa ja standardointia. Osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut normaalijakaumasta.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa normaalijakaumasta.
- Ylen Abitreenit: Normaalijakauma
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali normaalijakaumasta.