Todennäköisyyden ja tilastojen sovellukset – päätöksenteko
Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede ovat keskeisiä päätöksenteossa. Todennäköisyyslaskentaa käytetään arvioimaan eri vaihtoehtojen todennäköisyyksiä ja riskejä. Tilastotiedettä käytetään analysoimaan dataa ja tekemään johtopäätöksiä. Todennäköisyyden ja tilastojen sovellukset ovat laajalti käytössä eri aloilla, kuten lääketieteessä, taloustieteessä, laadunvalvonnassa ja tutkimuksessa. Tämä aihe kuuluu lukion pitkän matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään erityisesti kurssissa MAA12: Tilastot ja todennäköisyys. Tällä sivulla opit todennäköisyyden ja tilastojen käytön päätöksenteossa ja eri sovelluksissa.
Kaavat
(odotusarvo)
(varianssi)
(ehdollinen todennäköisyys)
(yhdisteen todennäköisyys)
(keskiarvo)
(otosvarianssi)
Säännöt
Odotusarvo
Ehdollinen todennäköisyys
Keskiarvo
Varianssi
Päätöksenteko
Valitse vaihtoehto, jolla on suurin odotusarvo tai pienin riski
Esimerkit
Esimerkki 1: Päätöksenteko odotusarvon perusteella
KeskitasoPäätöksenteossa on kolme vaihtoehtoa: vaihtoehto A (tuotto todennäköisyydellä , tuotto todennäköisyydellä , tappio todennäköisyydellä ), vaihtoehto B (tuotto todennäköisyydellä , tuotto todennäköisyydellä ) ja vaihtoehto C (tuotto todennäköisyydellä , tappio todennäköisyydellä ). Valitse parempi vaihtoehto odotusarvon perusteella.
- Laske vaihtoehdon A odotusarvo: .Odotusarvo lasketaan kertomalla jokainen tulos sen todennäköisyydellä ja laskemalla summa.
- Laske vaihtoehdon B odotusarvo: .Odotusarvo lasketaan kertomalla jokainen tulos sen todennäköisyydellä ja laskemalla summa.
- Laske vaihtoehdon C odotusarvo: .Odotusarvo lasketaan kertomalla jokainen tulos sen todennäköisyydellä ja laskemalla summa.
- Vertaile odotusarvoja: , joten vaihtoehto B on parempi odotusarvon perusteella.Suurempi odotusarvo tarkoittaa parempaa vaihtoehtoa odotusarvon perusteella.
- Vastaus: Vaihtoehto B on parempi, koska sen odotusarvo on verrattuna vaihtoehdon A odotusarvoon ja vaihtoehdon C odotusarvoon .Tämä on tyypillinen päätöksenteon tehtävä odotusarvon perusteella.
Esimerkki 2: Riskin arviointi
KeskitasoSijoituksessa on kaksi vaihtoehtoa: vaihtoehto A (odotusarvo , keskihajonta ) ja vaihtoehto B (odotusarvo , keskihajonta ). Vertaile vaihtoehtoja riskin perusteella.
- Tunnista parametrit: Vaihtoehdon A odotusarvo on ja keskihajonta on . Vaihtoehdon B odotusarvo on ja keskihajonta on .Riski arvioidaan keskihajonnan perusteella.
- Vertaile odotusarvoja: Vaihtoehdon A odotusarvo on ja vaihtoehdon B odotusarvo on , joten vaihtoehto A on parempi odotusarvon perusteella.Suurempi odotusarvo tarkoittaa parempaa tuottoa.
- Vertaile riskejä: Vaihtoehdon A keskihajonta on ja vaihtoehdon B keskihajonta on , joten vaihtoehto B on vähemmän riskialtis.Pienempi keskihajonta tarkoittaa pienempää riskiä.
- Tulkitse: Vaihtoehto A on parempi odotusarvon perusteella, mutta vaihtoehto B on vähemmän riskialtis. Valinta riippuu riskinsietokyvystä.Riski-tuotto -kompromissi vaatii, että valitaan vaihtoehto, joka sopii riskinsietokykyyn.
- Vastaus: Vaihtoehto A on parempi odotusarvon perusteella ( vs ), mutta vaihtoehto B on vähemmän riskialtis (keskihajonta vs ). Valinta riippuu riskinsietokyvystä.Tämä on tyypillinen riskin arvioinnin tehtävä.
Esimerkki 3: Ehdollinen todennäköisyys päätöksenteossa
VaikeaLääketieteessä testataan sairautta. Testin tarkkuus on (todennäköisyys saada positiivinen tulos, jos potilas on sairas) ja sairauden esiintyvyys on . Jos potilas saa positiivisen tuloksen, mikä on todennäköisyys, että potilas on sairas?
- Määritä tapahtumat: , .Ehdollinen todennäköisyys lasketaan tapahtumien avulla.
- Laske todennäköisyydet: (sairauden esiintyvyys), (testin tarkkuus).Todennäköisyydet annetaan tehtävässä.
- Käytä Bayesin kaavaa: .Bayesin kaavaa käytetään laskemaan ehdollinen todennäköisyys.
- Laske kokonaistodennäköisyys: .Kokonaistodennäköisyys lasketaan kaavalla .
- Laske ehdollinen todennäköisyys: .Ehdollinen todennäköisyys on noin .
- Vastaus: Todennäköisyys, että potilas on sairas, kun testi on positiivinen, on noin .Tämä on tyypillinen ehdollisen todennäköisyyden käyttö päätöksenteossa.
Esimerkki 4: Laadunvalvonta
KeskitasoTehtaassa testataan tuotteiden laatua. Otoksessa on tuotetta, joista on viallisia. Laske luottamusväli viallisten tuotteiden osuudelle.
- Tunnista parametrit: , viallisten lukumäärä , joten viallisten osuus on .Viallisten osuus lasketaan jakamalla viallisten lukumäärä otoksen koolla.
- Laske keskivirhe: .Keskivirhe lasketaan kaavalla .
- Laske luottamusväli: , eli .Luottamusväli lasketaan kaavalla .
- Vastaus: luottamusväli viallisten tuotteiden osuudelle on noin .Tämä on tyypillinen laadunvalvonnan tehtävä.
Esimerkki 5: Tilastollinen päätöksenteko
VaikeaTutkimuksessa testataan, onko uusi hoitomenetelmä tehokkaampi kuin vanha hoitomenetelmä. Hoitoryhmässä on potilasta, joista parani. Kontrolliryhmässä on potilasta, joista parani. Testataan, onko ero tilastollisesti merkitsevä merkitsevyystasolla .
- Tunnista parametrit: Hoitoryhmässä , , joten paranemisosuus on . Kontrolliryhmässä , , joten paranemisosuus on .Paranemisosuudet lasketaan jakamalla parantuneiden lukumäärä ryhmän koolla.
- Aseta hypoteesit: , .Nollahypoteesi on, että paranemisosuudet ovat yhtä suuret. Vaihtoehtoinen hypoteesi on, että ne ovat eri suuret.
- Laske testisuure: .Testisuure lasketaan kaavalla .
- Laske p-arvo: -arvo (normaalijakaumataulukosta).P-arvo lasketaan normaalijakaumasta.
- Vertaile: -arvo , joten hylätään .Jos p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso, hylätään nollahypoteesi.
- Vastaus: Testisuure on , p-arvo on noin ja hylätään merkitsevyystasolla . Uusi hoitomenetelmä on tilastollisesti merkitsevästi tehokkaampi kuin vanha hoitomenetelmä.Tämä on tyypillinen tilastollisen päätöksenteon tehtävä.
Esimerkki 6: Odotusarvon käyttö päätöksenteossa
HelppoPelissä on kaksi vaihtoehtoa: vaihtoehto A (voitto todennäköisyydellä , voitto todennäköisyydellä , tappio todennäköisyydellä ) ja vaihtoehto B (voitto todennäköisyydellä , voitto todennäköisyydellä , tappio todennäköisyydellä ). Valitse parempi vaihtoehto odotusarvon perusteella.
- Laske vaihtoehdon A odotusarvo: .Odotusarvo lasketaan kertomalla jokainen tulos sen todennäköisyydellä ja laskemalla summa.
- Laske vaihtoehdon B odotusarvo: .Odotusarvo lasketaan kertomalla jokainen tulos sen todennäköisyydellä ja laskemalla summa.
- Vertaile odotusarvoja: , joten vaihtoehto B on parempi odotusarvon perusteella.Suurempi odotusarvo tarkoittaa parempaa vaihtoehtoa odotusarvon perusteella.
- Vastaus: Vaihtoehto B on parempi, koska sen odotusarvo on verrattuna vaihtoehdon A odotusarvoon .Tämä on tyypillinen odotusarvon käyttö päätöksenteossa.
Esimerkki
Päätöksenteossa on kaksi vaihtoehtoa: vaihtoehto A (tuotto todennäköisyydellä , tuotto todennäköisyydellä ) ja vaihtoehto B (tuotto todennäköisyydellä , tuotto todennäköisyydellä ). Valitse parempi vaihtoehto odotusarvon perusteella.
- Laske vaihtoehdon A odotusarvo: .
- Laske vaihtoehdon B odotusarvo: .
- Vertaile odotusarvoja: , joten vaihtoehto A on parempi odotusarvon perusteella.
- Vastaus: Vaihtoehto A on parempi, koska sen odotusarvo on verrattuna vaihtoehdon B odotusarvoon .
Sovellukset
- Lääketieteessä todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä käytetään diagnosointiin ja hoitomenetelmien testaamiseen. Esimerkiksi testien tarkkuutta arvioidaan ehdollisen todennäköisyyden avulla ja hoitomenetelmien tehokkuutta testataan hypoteesitestillä.
- Taloustieteessä todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä käytetään sijoituspäätöksissä ja riskien arvioinnissa. Esimerkiksi sijoitusten tuottoja arvioidaan odotusarvon avulla ja riskejä keskihajonnan avulla.
- Laadunvalvonnassa todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä käytetään tuotteiden laadun testaamiseen. Esimerkiksi tuotteiden laatua testataan otantatutkimuksilla ja luottamusväleillä.
- Tutkimuksessa todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä käytetään datan analysointiin ja johtopäätösten tekemiseen. Esimerkiksi tutkimustuloksia testataan hypoteesitestillä ja estimoidaan luottamusväleillä.
Yleisiä virheitä
Odotusarvon käyttö väärin
Monet käyttävät odotusarvoa väärin päätöksenteossa. He saattavat valita vaihtoehdon, jolla on suurin mahdollinen tulos sen sijaan, että valitsisivat vaihtoehdon, jolla on suurin odotusarvo.
Oikein: Päätöksenteossa kannattaa valita vaihtoehto, jolla on suurin odotusarvo, ei suurin mahdollinen tulos. Odotusarvo ottaa huomioon sekä tulokset että niiden todennäköisyydet.
Riski-tuotto -kompromissin unohtaminen
Monet unohtavat riski-tuotto -kompromissin. He saattavat valita vaihtoehdon, jolla on suurin odotusarvo, vaikka se olisi myös riskialtis.
Oikein: Päätöksenteossa täytyy ottaa huomioon sekä odotusarvo että riski. Suurempi odotusarvo tarkoittaa parempaa tuottoa, mutta suurempi keskihajonta tarkoittaa suurempaa riskiä. Valinta riippuu riskinsietokyvystä.
Ehdollisen todennäköisyyden käyttö väärin
Monet käyttävät ehdollista todennäköisyyttä väärin. He saattavat sekoittaa ja tai unohtaa käyttää Bayesin kaavaa.
Oikein: Ehdollinen todennäköisyys lasketaan kaavalla . Bayesin kaavaa käytetään, kun halutaan laskea , kun tiedetään : .
Tilastollisen päätöksenteon unohtaminen
Monet unohtavat käyttää tilastollisia menetelmiä päätöksenteossa. He saattavat tehdä johtopäätöksiä pelkän keskiarvon perusteella sen sijaan, että testaisivat tilastollisesti.
Oikein: Tilastollinen päätöksenteko vaatii tilastollisia testejä (esimerkiksi hypoteesitesti) ja luottamusvälejä. Pelkkä keskiarvojen ero ei kerro, onko ero tilastollisesti merkitsevä.
Usein kysyttyä
- Miten käytän todennäköisyyslaskentaa päätöksenteossa?
- Todennäköisyyslaskentaa käytetään päätöksenteossa arvioimaan eri vaihtoehtojen todennäköisyyksiä ja riskejä. Odotusarvoa käytetään valitsemaan vaihtoehto, jolla on suurin odotusarvo. Ehdollista todennäköisyyttä käytetään päivittämään todennäköisyyksiä uuden tiedon perusteella.
- Miten käytän tilastotiedettä päätöksenteossa?
- Tilastotiedettä käytetään päätöksenteossa analysoimaan dataa ja tekemään johtopäätöksiä. Keskiarvoa ja keskihajontaa käytetään kuvaamaan dataa. Hypoteesitestiä käytetään testaamaan hypoteeseja. Luottamusvälejä käytetään estimoimaan parametreja.
- Mikä on odotusarvo päätöksenteossa?
- Odotusarvo on keskiarvo, joka saadaan pitkällä aikavälillä, jos päätös toistetaan monta kertaa. Päätöksenteossa kannattaa valita vaihtoehto, jolla on suurin odotusarvo, koska se antaa parhaan pitkän aikavälin tuloksen.
- Mikä on riski-tuotto -kompromissi?
- Riski-tuotto -kompromissi tarkoittaa, että suurempi tuotto yleensä tarkoittaa suurempaa riskiä. Päätöksenteossa täytyy ottaa huomioon sekä odotusarvo että riski. Valinta riippuu riskinsietokyvystä: riskinsietokykyinen henkilö valitsee suuremman tuoton ja riskin, kun taas riskinkarttava henkilö valitsee pienemmän tuoton ja riskin.
- Miten käytän ehdollista todennäköisyyttä päätöksenteossa?
- Ehdollista todennäköisyyttä käytetään päivittämään todennäköisyyksiä uuden tiedon perusteella. Esimerkiksi lääketieteessä testin tulos päivittää todennäköisyyttä, että potilas on sairas. Bayesin kaavaa käytetään laskemaan päivitetty todennäköisyys.
- Miten käytän tilastollisia testejä päätöksenteossa?
- Tilastollisia testejä käytetään testaamaan hypoteeseja ja tekemään johtopäätöksiä. Esimerkiksi hypoteesitestiä käytetään testaamaan, onko ero tilastollisesti merkitsevä. Jos p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso, hylätään nollahypoteesi ja tehdään johtopäätös.
- Miten käytän luottamusvälejä päätöksenteossa?
- Luottamusvälejä käytetään estimoimaan parametreja ja tekemään johtopäätöksiä. Esimerkiksi luottamusväli populaation keskiarvolle kertoo, missä välillä populaation keskiarvo todennäköisesti on. Tämä auttaa tekemään päätöksiä epävarmuudessa.
- Mikä on laadunvalvonnan tarkoitus?
- Laadunvalvonnan tarkoitus on varmistaa, että tuotteet täyttävät laatuvaatimukset. Laadunvalvonnassa käytetään otantatutkimuksia ja tilastollisia testejä testaamaan tuotteiden laatua. Luottamusvälejä käytetään estimoimaan viallisten tuotteiden osuutta.
- Miten käytän todennäköisyyslaskentaa lääketieteessä?
- Todennäköisyyslaskentaa käytetään lääketieteessä diagnosointiin ja hoitomenetelmien testaamiseen. Esimerkiksi testien tarkkuutta arvioidaan ehdollisen todennäköisyyden avulla ja hoitomenetelmien tehokkuutta testataan hypoteesitestillä. Bayesin kaavaa käytetään päivittämään diagnoosien todennäköisyyksiä.
- Miten käytän tilastotiedettä taloustieteessä?
- Tilastotiedettä käytetään taloustieteessä sijoituspäätöksissä ja riskien arvioinnissa. Esimerkiksi sijoitusten tuottoja arvioidaan odotusarvon avulla ja riskejä keskihajonnan avulla. Korrelaatiota ja regressiota käytetään analysoimaan taloudellisten muuttujien välistä riippuvuutta.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion pitkän matematiikan kurssi (LOPS21), joka käsittelee todennäköisyyden ja tilastojen sovelluksia päätöksenteossa. Tämä kurssi on osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut todennäköisyyden ja tilastojen sovelluksista.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa todennäköisyyden ja tilastojen sovelluksista.
- Ylen Abitreenit: Todennäköisyyden ja tilastojen sovellukset
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali todennäköisyyden ja tilastojen sovelluksista.