Hypoteesitesti – nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi
Hypoteesitesti on tilastollinen menetelmä, jolla testataan hypoteeseja populaation parametreista. Hypoteesitesti koostuu nollahypoteesista ja vaihtoehtoisesta hypoteesista . Testissä lasketaan testisuure ja p-arvo, ja hypoteesi hyväksytään tai hylätään merkitsevyystason perusteella. Tämä aihe kuuluu lukion pitkän matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään erityisesti kurssissa MAA12: Tilastot ja todennäköisyys. Tällä sivulla opit hypoteesitestin suorittamisen, testisuureiden laskemisen ja p-arvojen tulkitsemisen.
Kaavat
(nollahypoteesi)
(vaihtoehtoinen hypoteesi, kaksisuuntainen)
(vaihtoehtoinen hypoteesi, yksisuuntainen oikealle)
(vaihtoehtoinen hypoteesi, yksisuuntainen vasemmalle)
(z-testisuure, kun tunnetaan)
(t-testisuure, kun ei tunneta)
-arvo = (kaksisuuntainen testi)
-arvo = (yksisuuntainen testi oikealle)
-arvo = (yksisuuntainen testi vasemmalle)
Säännöt
Nollahypoteesi
: hypoteesi, jota testataan
Vaihtoehtoinen hypoteesi
: hypoteesi, joka hyväksytään, jos hylätään
Merkitsevyystaso
: todennäköisyys hylätä , vaikka se olisi tosi (yleensä )
P-arvo
-arvo: todennäköisyys saada testisuure, joka on vähintään yhtä äärimmäinen kuin havaittu, jos on tosi
Päätöksenteko
Jos -arvo , hylätään . Jos -arvo , hyväksytään .
Esimerkit
Esimerkki 1: Yksisuuntainen z-testi
KeskitasoTestataan hypoteesia vastaan . Otoksessa on havaintoa, otoskeskiarvo on ja populaation keskihajonta on . Laske testisuure ja p-arvo merkitsevyystasolla .
- Tunnista parametrit: , , , , .Koska tunnetaan, käytetään z-testiä.
- Laske z-testisuure: .Z-testisuure lasketaan kaavalla .
- Laske p-arvo: -arvo (normaalijakaumataulukosta).Koska testi on yksisuuntainen oikealle, p-arvo on .
- Vertaile: -arvo , joten hylätään .Jos p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso, hylätään nollahypoteesi.
- Vastaus: Testisuure on , p-arvo on noin ja hylätään merkitsevyystasolla .Tämä on tyypillinen yksisuuntaisen z-testin laskenta.
Esimerkki 2: Kaksisuuntainen t-testi
KeskitasoTestataan hypoteesia vastaan . Otoksessa on havaintoa, otoskeskiarvo on ja otokeskihajonta on . Laske testisuure ja p-arvo merkitsevyystasolla .
- Tunnista parametrit: , , , , .Koska ei tunneta, käytetään t-testiä.
- Laske t-testisuure: .T-testisuure lasketaan kaavalla .
- Laske p-arvo: -arvo (t-jakaumasta, vapausastetta).Koska testi on kaksisuuntainen, p-arvo on .
- Vertaile: -arvo , joten hyväksytään .Jos p-arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin merkitsevyystaso, hyväksytään nollahypoteesi.
- Vastaus: Testisuure on , p-arvo on noin ja hyväksytään merkitsevyystasolla .Tämä on tyypillinen kaksisuuntaisen t-testin laskenta.
Esimerkki 3: Yksisuuntainen testi vasemmalle
KeskitasoTestataan hypoteesia vastaan . Otoksessa on havaintoa, otoskeskiarvo on ja otokeskihajonta on . Laske testisuure ja p-arvo merkitsevyystasolla .
- Tunnista parametrit: , , , , .Koska ei tunneta, käytetään t-testiä.
- Laske t-testisuure: .T-testisuure lasketaan kaavalla .
- Laske p-arvo: -arvo (t-jakaumasta, vapausastetta).Koska testi on yksisuuntainen vasemmalle, p-arvo on .
- Vertaile: -arvo , joten hylätään .Jos p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso, hylätään nollahypoteesi.
- Vastaus: Testisuure on , p-arvo on noin ja hylätään merkitsevyystasolla .Tämä on tyypillinen yksisuuntaisen testin laskenta vasemmalle.
Esimerkki 4: Hypoteesitestin tulkinta
HelppoSelitä, mitä tarkoittaa, että p-arvo on merkitsevyystasolla .
- Määritelmä: P-arvo on todennäköisyys saada testisuure, joka on vähintään yhtä äärimmäinen kuin havaittu, jos nollahypoteesi on tosi.P-arvo kuvaa, kuinka todennäköinen havaittu tulos on, jos nollahypoteesi on tosi.
- Tulkinta: P-arvo tarkoittaa, että jos nollahypoteesi on tosi, todennäköisyys saada vähintään yhtä äärimmäinen tulos on .Pieni p-arvo tarkoittaa, että havaittu tulos on epätodennäköinen, jos nollahypoteesi on tosi.
- Päätös: Koska p-arvo , hylätään nollahypoteesi. Tämä tarkoittaa, että havaittu tulos on riittävän epätodennäköinen, jotta nollahypoteesi voidaan hylätä.Jos p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso, hylätään nollahypoteesi.
- Vastaus: P-arvo tarkoittaa, että todennäköisyys saada vähintään yhtä äärimmäinen tulos on , jos nollahypoteesi on tosi. Koska p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso , hylätään nollahypoteesi.Tämä on tyypillinen hypoteesitestin tulkinta.
Esimerkki 5: Virhetyypit
HelppoSelitä tyyppi I -virhe ja tyyppi II -virhe hypoteesitestissä.
- Tyyppi I -virhe: Tyyppi I -virhe tapahtuu, kun hylätään nollahypoteesi, vaikka se on tosi. Tyyppi I -virheen todennäköisyys on merkitsevyystaso .Tyyppi I -virhe on virhe, jossa hylätään tosi nollahypoteesi.
- Tyyppi II -virhe: Tyyppi II -virhe tapahtuu, kun hyväksytään nollahypoteesi, vaikka se on epätosi. Tyyppi II -virheen todennäköisyys on .Tyyppi II -virhe on virhe, jossa hyväksytään epätosi nollahypoteesi.
- Vertaile: Tyyppi I -virhe on vakavampi kuin tyyppi II -virhe, koska se tarkoittaa, että tehdään väärä johtopäätös. Tyyppi II -virhe tarkoittaa, että ei tehdä johtopäätöstä, vaikka se olisi oikea.Tyyppi I -virhe on yleensä vakavampi kuin tyyppi II -virhe.
- Vastaus: Tyyppi I -virhe tapahtuu, kun hylätään tosi nollahypoteesi (todennäköisyys ). Tyyppi II -virhe tapahtuu, kun hyväksytään epätosi nollahypoteesi (todennäköisyys ).Tämä on tyypillinen virhetyyppien selitys.
Esimerkki 6: Monimutkainen hypoteesitesti
VaikeaTestataan hypoteesia vastaan . Otoksessa on havaintoa, otoskeskiarvo on ja otokeskihajonta on . Laske testisuure ja p-arvo merkitsevyystasolla .
- Tunnista parametrit: , , , , .Koska ei tunneta, käytetään t-testiä. Koska on suuri, t-jakauma on lähellä z-jakaumaa.
- Laske t-testisuure: .T-testisuure lasketaan kaavalla .
- Laske p-arvo: -arvo (t-jakaumasta, vapausastetta).Koska testi on kaksisuuntainen, p-arvo on .
- Vertaile: -arvo , joten hylätään .Jos p-arvo on pienempi kuin merkitsevyystaso, hylätään nollahypoteesi.
- Vastaus: Testisuure on , p-arvo on noin ja hylätään merkitsevyystasolla .Tämä on tyypillinen monimutkaisen hypoteesitestin laskenta.
Esimerkki
Testataan hypoteesia vastaan . Otoksessa on havaintoa, otoskeskiarvo on ja otokeskihajonta on . Laske testisuure ja p-arvo merkitsevyystasolla .
- Tunnista parametrit: , , , , .
- Koska ei tunneta, käytetään t-testiä: .
- Laske p-arvo: -arvo (t-jakaumasta, vapausastetta).
- Vertaile: -arvo , joten hyväksytään .
- Vastaus: Testisuure on , p-arvo on noin ja hyväksytään merkitsevyystasolla .
Sovellukset
- Tilastotieteessä hypoteesitestiä käytetään tutkimuksissa. Esimerkiksi testataan hypoteeseja populaation keskiarvosta, varianssista tai muista parametreista.
- Lääketieteessä hypoteesitestiä käytetään testaamaan hoitomenetelmien tehokkuutta. Esimerkiksi testataan, onko uusi lääke tehokkaampi kuin vanha lääke.
- Laadunvalvonnassa hypoteesitestiä käytetään testaamaan tuotteiden laatua. Esimerkiksi testataan, täyttääkö tuote laatuvaatimukset.
- Taloustieteessä hypoteesitestiä käytetään testaamaan taloudellisia hypoteeseja. Esimerkiksi testataan, onko uusi politiikka tehokkaampi kuin vanha politiikka.
Yleisiä virheitä
Nollahypoteesin ja vaihtoehtoisen hypoteesin sekoittaminen
Monet sekoittavat nollahypoteesin ja vaihtoehtoisen hypoteesin. He saattavat ajatella, että nollahypoteesi on se, jota halutaan todistaa.
Oikein: Nollahypoteesi on hypoteesi, jota testataan. Vaihtoehtoinen hypoteesi on hypoteesi, joka hyväksytään, jos hylätään. Nollahypoteesi on yleensä "ei eroa" tai "ei vaikutusta", ja vaihtoehtoinen hypoteesi on "on eroa" tai "on vaikutusta".
P-arvon tulkinta väärin
Monet tulkitsivat p-arvon väärin. He saattavat ajatella, että p-arvo on todennäköisyys, että nollahypoteesi on tosi, vaikka se on todennäköisyys saada vähintään yhtä äärimmäinen tulos, jos nollahypoteesi on tosi.
Oikein: P-arvo on todennäköisyys saada testisuure, joka on vähintään yhtä äärimmäinen kuin havaittu, jos nollahypoteesi on tosi. Pieni p-arvo tarkoittaa, että havaittu tulos on epätodennäköinen, jos nollahypoteesi on tosi, joten nollahypoteesi voidaan hylätä.
Testisuureen laskeminen väärin
Monet laskevat testisuureen väärin. He saattavat käyttää z-testiä sen sijaan, että käyttäisivät t-testiä, kun ei tunneta.
Oikein: Kun tunnetaan, käytetään z-testiä: . Kun ei tunneta, käytetään t-testiä: . Tärkeää on muistaa käyttää oikeaa testiä.
Kaksisuuntaisen ja yksisuuntaisen testin sekoittaminen
Monet sekoittavat kaksisuuntaisen ja yksisuuntaisen testin. He saattavat laskea p-arvon väärin tai käyttää väärää kriittistä arvoa.
Oikein: Kaksisuuntaisessa testissä p-arvo on tai . Yksisuuntaisessa testissä p-arvo on tai (tai vastaavasti t-jakaumalle). Tärkeää on muistaa käyttää oikeaa kaavaa.
Usein kysyttyä
- Mikä on hypoteesitesti?
- Hypoteesitesti on tilastollinen menetelmä, jolla testataan hypoteeseja populaation parametreista. Hypoteesitesti koostuu nollahypoteesista ja vaihtoehtoisesta hypoteesista . Testissä lasketaan testisuure ja p-arvo, ja hypoteesi hyväksytään tai hylätään merkitsevyystason perusteella.
- Mikä on nollahypoteesi?
- Nollahypoteesi on hypoteesi, jota testataan. Nollahypoteesi on yleensä "ei eroa" tai "ei vaikutusta". Esimerkiksi tarkoittaa, että populaation keskiarvo on yhtä suuri kuin .
- Mikä on vaihtoehtoinen hypoteesi?
- Vaihtoehtoinen hypoteesi on hypoteesi, joka hyväksytään, jos nollahypoteesi hylätään. Vaihtoehtoinen hypoteesi on yleensä "on eroa" tai "on vaikutusta". Esimerkiksi tarkoittaa, että populaation keskiarvo on eri kuin .
- Mikä on p-arvo?
- P-arvo on todennäköisyys saada testisuure, joka on vähintään yhtä äärimmäinen kuin havaittu, jos nollahypoteesi on tosi. Pieni p-arvo tarkoittaa, että havaittu tulos on epätodennäköinen, jos nollahypoteesi on tosi, joten nollahypoteesi voidaan hylätä.
- Miten tulkitaan p-arvoa?
- P-arvoa tulkitaan vertaamalla sitä merkitsevyystasoon . Jos p-arvo , hylätään nollahypoteesi. Jos p-arvo , hyväksytään nollahypoteesi. Yleensä merkitsevyystaso on ().
- Mikä ero on z-testillä ja t-testillä?
- Z-testiä käytetään, kun populaation keskihajonta tunnetaan. T-testiä käytetään, kun populaation keskihajonta ei tunneta ja käytetään otokeskihajontaa . Z-testisuure lasketaan kaavalla ja t-testisuure kaavalla .
- Mikä ero on kaksisuuntaisella ja yksisuuntaisella testillä?
- Kaksisuuntaisessa testissä vaihtoehtoinen hypoteesi on ja p-arvo on tai . Yksisuuntaisessa testissä vaihtoehtoinen hypoteesi on tai ja p-arvo on tai (tai vastaavasti t-jakaumalle).
- Mikä on tyyppi I -virhe?
- Tyyppi I -virhe tapahtuu, kun hylätään nollahypoteesi, vaikka se on tosi. Tyyppi I -virheen todennäköisyys on merkitsevyystaso . Esimerkiksi jos , todennäköisyys tehdä tyyppi I -virhe on .
- Mikä on tyyppi II -virhe?
- Tyyppi II -virhe tapahtuu, kun hyväksytään nollahypoteesi, vaikka se on epätosi. Tyyppi II -virheen todennäköisyys on . Tyyppi II -virhe on yleensä vaikeampi laskea kuin tyyppi I -virhe, koska se riippuu siitä, mikä on todellinen parametrin arvo.
- Miten valitaan merkitsevyystaso?
- Merkitsevyystaso valitaan ennen testiä. Yleensä merkitsevyystaso on (), mutta se voi olla myös () tai (). Pienempi merkitsevyystaso tarkoittaa, että vaaditaan vahvempi todiste hylätä nollahypoteesi.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion pitkän matematiikan kurssi (LOPS21), joka käsittelee hypoteesitestiä. Tämä kurssi on osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut hypoteesitestistä.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa hypoteesitestistä.
- Ylen Abitreenit: Hypoteesitesti
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali hypoteesitestistä.