Tilastolliset tunnusluvut – keskiarvo, mediaani ja moodi
Tilastolliset tunnusluvut kuvaavat aineiston keskeisiä ominaisuuksia. Keskiarvo, mediaani ja moodi ovat kolme tärkeintä keskilukua, jotka kuvaavat aineiston keskikohtaa eri tavoin. Keskiarvo on arvojen summa jaettuna lukumäärällä, mediaani on järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo ja moodi on yleisin arvo. Tämä aihe kuuluu lukion matematiikan opetussuunnitelmaan (LOPS21) ja käsitellään kursseilla MAA8: Tilastot ja todennäköisyys ja MAA12. Tällä sivulla opit keskiarvon, mediaanin ja moodin laskemisen sekä niiden käytön tilastollisessa analyysissä.
Kaavat
Keskiarvo
Keskiarvo on arvojen summa jaettuna havaintojen lukumäärällä. Se kuvaa aineiston "painopistettä" ja on herkkä ääriarvoille.
- Keskiarvo
- Havaintojen lukumäärä
- Yksittäinen havaintoarvo
Painotettu keskiarvo
Yksinkertaisesti: kerro jokainen arvo painollaan, laske summa ja jaa painojen summalla. Kun arvoilla on eri painot (frekvenssit ) tai eri merkitys (esim. arvosanat eri opintopisteillä), käytetään painotettua keskiarvoa. Sama luku voi esiintyä useaan kertaan; paino kertoo kuinka monta kertaa.
- Arvo (esim. arvosana tai havainto)
- Arvon $x_i$ frekvenssi eli paino (kuinka monta kertaa / kuinka paljon merkitsee)
- Eri arvojen lukumäärä
Mediaani (pariton n)
Järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo, kun havaintoja on pariton määrä. Robustimpi kuin keskiarvo ääriarvoille.
- Järjestetyn aineiston keskimmäinen havainto
- Havaintojen lukumäärä (pariton)
Mediaani (parillinen n)
Parillisella havaintomäärällä mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo.
- Järjestetyn aineiston kaksi keskimmäistä havaintoa
Moodi
Moodi on yleisin eli eniten esiintyvä arvo. Voi olla yksi, useita tai ei lainkaan (jos kaikki frekvenssit samat).
- Arvon $x_i$ frekvenssi
Säännöt
Keskiarvo
Keskiarvo on arvojen summa jaettuna havaintojen lukumäärällä.
Painotettu keskiarvo
Jokainen arvo kerrotaan painollaan; summa jaetaan painojen summalla.
Mediaani (pariton)
Järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo, kun havaintoja on pariton määrä.
Mediaani (parillinen)
Kahden keskimmäisen arvon keskiarvo, kun havaintoja on parillinen määrä.
Moodi
Moodi on yleisin eli eniten esiintyvä arvo.
Esimerkit
Yksi aineisto: keskiarvo, mediaani ja moodi
HelppoLaske keskiarvo, mediaani ja moodi aineistolle: .
- Keskiarvo: .Summa 42, havaintoja 7.
- Mediaani: järjestetty aineisto on . (pariton) mediaani .Keskimmäinen arvo on 5.
- Moodi: arvo 5 esiintyy 3 kertaa (eniten). Moodi .Yleisin arvo on 5.
- Vastaus: Keskiarvo , mediaani , moodi . Sama aineisto, kolme eri lukua.Keskiluvut kuvaavat aineistoa eri tavoin.
Esimerkki 2: Mediaani (pariton lukumäärä)
HelppoLaske mediaani aineistolle: .
- Järjestä aineisto: .Mediaani lasketaan järjestetystä aineistosta.
- Tunnista keskimmäinen arvo: (pariton), joten mediaani on .Kun arvojen lukumäärä on pariton, mediaani on keskimmäinen arvo.
- Vastaus: Mediaani on .Tämä on tyypillinen mediaanin laskenta parittomalla lukumäärällä.
Esimerkki 3: Mediaani (parillinen lukumäärä)
HelppoLaske mediaani aineistolle: .
- Järjestä aineisto: .Mediaani lasketaan järjestetystä aineistosta.
- Tunnista keskimmäiset arvot: (parillinen), joten mediaani on .Kun arvojen lukumäärä on parillinen, mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo.
- Vastaus: Mediaani on .Tämä on tyypillinen mediaanin laskenta parillisella lukumäärällä.
Esimerkki 4: Moodi
HelppoLaske moodi aineistolle: .
- Laske frekvenssit: esiintyy kertaa, esiintyy kertaa, esiintyy kerran, esiintyy kertaa.Moodi on arvo, jolla on suurin frekvenssi, joten täytyy laskea jokaisen arvon frekvenssi.
- Tunnista suurin frekvenssi: esiintyy kertaa, mikä on suurin frekvenssi.Moodi on arvo, jolla on suurin frekvenssi.
- Vastaus: Moodi on .Tämä on tyypillinen moodin laskenta.
Esimerkki 5: Painotettu keskiarvo
KeskitasoOpiskelija on saanut arvosanat: matematiikasta (paino ), fysiikasta (paino ) ja kemiasta (paino ). Laske painotettu keskiarvo.
- Laske painotettu summa: .Painotettu keskiarvo lasketaan kertomalla jokainen arvo painollaan ja laskemalla summa.
- Laske painojen summa: .Painojen summa on .
- Laske painotettu keskiarvo: .Painotettu keskiarvo on painotettu summa jaettuna painojen summalla.
- Vastaus: Painotettu keskiarvo on noin .Tämä on tyypillinen painotetun keskiarvon laskenta.
Esimerkki 6: Kaikki tunnusluvut
KeskitasoLaske keskiarvo, mediaani ja moodi aineistolle: .
- Laske keskiarvo: .Keskiarvo on arvojen summa jaettuna lukumäärällä.
- Järjestä aineisto: .Mediaani lasketaan järjestetystä aineistosta.
- Laske mediaani: (parillinen), joten mediaani on .Kun arvojen lukumäärä on parillinen, mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo.
- Laske frekvenssit: esiintyy kertaa, esiintyy kertaa, esiintyy kertaa, esiintyy kertaa, esiintyy kerran.Moodi on arvo, jolla on suurin frekvenssi.
- Tunnista moodi: esiintyy kertaa, mikä on suurin frekvenssi, joten moodi on .Moodi on arvo, jolla on suurin frekvenssi.
- Vastaus: Keskiarvo on , mediaani on ja moodi on .Tämä on tyypillinen tehtävä, jossa lasketaan kaikki kolme tunnuslukua.
Esimerkki
Laske keskiarvo, mediaani ja moodi aineistolle: .
- Laske keskiarvo: .
- Järjestä aineisto: . Mediaani on keskimmäinen arvo: .
- Moodi on yleisin arvo: (esiintyy kertaa).
- Vastaus: Keskiarvo on , mediaani on ja moodi on .
Sovellukset
- Tilastotieteessä keskiarvoa, mediaania ja moodia käytetään kuvaamaan aineiston keskilukua. Esimerkiksi tutkimuksissa lasketaan keskiarvo, mediaani ja moodi eri muuttujille.
- Taloustieteessä keskiarvoa, mediaania ja moodia käytetään kuvaamaan taloudellisia indikaattoreita. Esimerkiksi tulojen keskiarvo, mediaani ja moodi kuvaavat tulonjakoa eri tavoin.
- Sosiologiassa keskiarvoa, mediaania ja moodia käytetään kuvaamaan yhteiskunnallisia ilmiöitä. Esimerkiksi koulutustason keskiarvo, mediaani ja moodi kuvaavat koulutustasoa eri tavoin.
- Laadunvalvonnassa keskiarvoa, mediaania ja moodia käytetään kuvaamaan tuotteiden laatua. Esimerkiksi tuotteiden mittausten keskiarvo, mediaani ja moodi kuvaavat tuotteiden laatua eri tavoin.
Yleisiä virheitä
Keskiarvon laskeminen väärin
Monet unohtavat jakaa summan arvojen lukumäärällä. He saattavat laskea vain summan sen sijaan, että jakaisivat sen lukumäärällä.
Oikein: Keskiarvo lasketaan kaavalla . Tärkeää on muistaa jakaa summa arvojen lukumäärällä .
Mediaanin laskeminen järjestämättömästä aineistosta
Monet laskevat mediaanin järjestämättömästä aineistosta. He saattavat ottaa keskimmäisen arvon suoraan järjestämättömästä aineistosta.
Oikein: Mediaani lasketaan aina järjestetystä aineistosta. Ensin täytyy järjestää aineisto nousevaan tai laskevaan järjestykseen, ja sitten ottaa keskimmäinen arvo (tai kahden keskimmäisen arvon keskiarvo, jos lukumäärä on parillinen).
Moodin määrittely väärin
Monet sekoittavat moodin ja mediaanin. He saattavat ajatella, että moodi on keskimmäinen arvo sen sijaan, että se olisi yleisin arvo.
Oikein: Moodi on arvo, jolla on suurin frekvenssi. Tämä ei ole sama kuin mediaani, joka on keskimmäinen arvo järjestetyssä aineistossa.
Painotetun keskiarvon laskeminen väärin
Monet unohtavat jakaa painotetun summan painojen summalla. He saattavat laskea vain painotetun summan sen sijaan, että jakaisivat sen painojen summalla.
Oikein: Painotettu keskiarvo lasketaan kaavalla . Tärkeää on muistaa jakaa painotettu summa painojen summalla.
Usein kysyttyä
- Mikä on keskiarvo?
- Keskiarvo on arvojen summa jaettuna lukumäärällä. Keskiarvo lasketaan kaavalla . Keskiarvo kuvaa aineiston keskilukua ja on herkkä poikkeaville arvoille.
- Mikä on mediaani?
- Mediaani on järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo. Jos arvojen lukumäärä on pariton, mediaani on keskimmäinen arvo. Jos arvojen lukumäärä on parillinen, mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo. Mediaani on vähemmän herkkä poikkeaville arvoille kuin keskiarvo.
- Mikä on moodi?
- Moodi on arvo, jolla on suurin frekvenssi. Moodi on aineiston yleisin arvo. Moodi voi olla yksilöllinen (yksi moodi), moninkertainen (useita moodeja) tai olemattoman (ei moodia, jos kaikilla arvoilla on sama frekvenssi).
- Mikä ero on keskiarvolla, mediaanilla ja moodilla?
- Keskiarvo on arvojen summa jaettuna lukumäärällä ja on herkkä poikkeaville arvoille. Mediaani on järjestetyn aineiston keskimmäinen arvo ja on vähemmän herkkä poikkeaville arvoille. Moodi on yleisin arvo ja kuvaa aineiston tyypillisintä arvoa. Näiden kolmen tunnusluvun avulla voidaan kuvailla aineiston keskilukua eri tavoin.
- Milloin käytän keskiarvoa ja milloin mediaania?
- Keskiarvoa käytetään, kun aineisto on normaalijakautunut ja poikkeavia arvoja on vähän. Mediaania käytetään, kun aineisto on vino tai poikkeavia arvoja on paljon. Mediaani on robustimpi kuin keskiarvo, koska se ei ole yhtä herkkä poikkeaville arvoille.
- Mikä on painotettu keskiarvo?
- Painotettu keskiarvo: kerro jokainen arvo painollaan, laske summa ja jaa painojen summalla. Kaava: , missä on paino arvolle . Käytetään, kun arvoilla on eri painot (esim. arvosanat eri opintopisteillä) tai sama luku esiintyy useaan kertaan (frekvenssit).
- Miten lasken mediaanin parillisella lukumäärällä?
- Kun arvojen lukumäärä on parillinen, mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo. Esimerkiksi, jos aineisto on , mediaani on .
- Miten lasken mediaanin parittomalla lukumäärällä?
- Kun arvojen lukumäärä on pariton, mediaani on keskimmäinen arvo. Esimerkiksi, jos aineisto on , mediaani on (neljäs arvo järjestetyssä aineistossa).
- Mikä on moodi, jos useilla arvoilla on sama frekvenssi?
- Jos useilla arvoilla on sama suurin frekvenssi, aineistolla on useita moodeja (moninkertainen moodi). Jos kaikilla arvoilla on sama frekvenssi, aineistolla ei ole moodia.
- Mikä on parempi: keskiarvo vai mediaani?
- Kumpikaan ei ole parempi, vaan ne kuvaavat aineistoa eri tavoin. Keskiarvo on hyvä, kun aineisto on normaalijakautunut ja poikkeavia arvoja on vähän. Mediaani on hyvä, kun aineisto on vino tai poikkeavia arvoja on paljon. Usein kannattaa laskea molemmat tunnusluvut ja verrata niitä.
Lähteet ja lisämateriaali
- LOPS21: MAA8 ja MAA12 Tilastot ja todennäköisyys
Lukion matematiikan kurssit (LOPS21): MAA8 ja MAA12 käsittelevät tilastollisia tunnuslukuja, keskiarvoa, mediaania ja moodia. Osa lukion opetussuunnitelmaa.
- Ylioppilaskokeiden tehtävät
Aiemmat ylioppilaskokeiden tehtävät ja malliratkaisut tilastollisista tunnusluvuista.
- TIM - Pitkän matematiikan kertauskurssi
Jyväskylän yliopiston kertauskurssi, joka sisältää harjoitustehtäviä ja teoriaa tilastollisista tunnusluvuista.
- Ylen Abitreenit: Tilastolliset tunnusluvut
Ylen Abitreenit-sivuston materiaali tilastollisista tunnusluvuista.