Miten ratkaisen yhtälön $\sin x = a$ arcus-funktion avulla?

Laske ensin $x_0 = \arcsin a$, jonka jälkeen lisää jakso: $x = x_0 + 2k\pi$ tai $x = (\pi - x_0) + 2k\pi$.

Voiko $\arctan x$ antaa kulman yli 90°?

Ei. Pääarvo on aina välillä $(-90°, 90°)$. Muut ratkaisut saat lisäämällä $k\pi$.

Miten kirjoitan $\cos(\arcsin x)$ ilman trigonometriaa?

Käytä $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ arvoalueella, jolla kosini on ei-negatiivinen.

Trigonometriset käänteisfunktiot – arcsin, arccos, arctan

Trigonometriset käänteisfunktiot palauttavat kulman, kun tiedät sinin, kosinin tai tangentin arvon. Ne ovat välttämättömiä trigonometrisia yhtälöitä ratkaistaessa ja geometrian kulmalaskuissa.

Määritelmä

Arcusfunktiot määritellään rajoittamalla perusfunktioiden arvoalue: , ja .

Kaavat

vain, jos

Säännöt

Määrittelyjoukko

ja edellyttävät .

Arvoalue

palauttaa kulman väliltä .

Päähaara

Käänteisfunktio antaa pääarvon; muut ratkaisut saadaan lisäämällä jakso.

Esimerkit

Arcus sini käytännössä

Helppo

Laske ja ilmoita vastaava kulma asteina.

Tunnista referenssikulma
, joten kulma on .
Muunna radiaaneiksi
.
Kirjoita vastaus
.

Sinin ja arcus kosinin yhdistelmä

Keskitaso

Yksinkertaista .

Aseta kulma
Olkoon .
Hyödynnä identiteettiä
.
Valitse merkki
Arvoalueella sini on , joten .

Arcus tangentin soveltaminen

Keskitaso

Ratkaise yhtälö ja ilmoita kaikki ratkaisut.

Pääarvo
(radiaaneina).
Lisää jaksollisuus
Tangentille jakso on .
Kirjoita vastaus
Ratkaisut , .

Sovellukset

Trigonometriset yhtälöt: arcus funktiot palauttavat perusratkaisut.
Geometria: kulman määritys kolmion sivujen suhteista.
Fysiikka: vaiheen laskeminen värähtely- ja signaalimalleissa.

Yleisiä virheitä

Sekoitus käänteislukuun

tulkitaan virheellisesti .

Oikein: Muistuta itseäsi: arcus palauttaa kulman, ei käänteislukua.

Arvoalue unohtuu

Palautettu kulma ei ole päähaarassa.

Oikein: Pidä mielessä arcus sinille ja arcus kosinille.

Liian vähän ratkaisuja

Yhtälöstä ilmoitetaan vain arcus-funktion palauttama arvo.

Oikein: Lisää jaksollisuustermi: tai .

Usein kysyttyä

Miksi arcus sinin arvoalue rajataan?: Ilman rajausta käänteisfunktio ei olisi yksikäsitteinen. Väli sisältää kaikki sinin arvot kerran.
Miten ratkaisen yhtälön arcus-funktion avulla?: Laske ensin , jonka jälkeen lisää jakso: tai .
Voiko antaa kulman yli 90°?: Ei. Pääarvo on aina välillä . Muut ratkaisut saat lisäämällä .
Miten kirjoitan ilman trigonometriaa?: Käytä arvoalueella, jolla kosini on ei-negatiivinen.

Lähteet ja lisämateriaali

MAA7 arcsin ja arctan
Kurssikuvaus, joka määrittelee käänteisfunktiot ja niiden rajoitukset.
Yo-tehtävät käänteisfunktioista
YTL:n tehtäväpankki, jossa arcsin, arccos ja arctan ratkaisevat kulmat.

Esimerkit

Arcus sini käytännössä

Helppo

Laske ja ilmoita vastaava kulma asteina.

Tunnista referenssikulma
, joten kulma on .
Muunna radiaaneiksi
.
Kirjoita vastaus
.

Sinin ja arcus kosinin yhdistelmä

Keskitaso

Yksinkertaista .

Aseta kulma
Olkoon .
Hyödynnä identiteettiä
.
Valitse merkki
Arvoalueella sini on , joten .

Arcus tangentin soveltaminen

Keskitaso

Ratkaise yhtälö ja ilmoita kaikki ratkaisut.

Pääarvo
(radiaaneina).
Lisää jaksollisuus
Tangentille jakso on .
Kirjoita vastaus
Ratkaisut , .

Yleisiä virheitä

Sekoitus käänteislukuun

tulkitaan virheellisesti .

Oikein: Muistuta itseäsi: arcus palauttaa kulman, ei käänteislukua.

Arvoalue unohtuu

Palautettu kulma ei ole päähaarassa.

Oikein: Pidä mielessä arcus sinille ja arcus kosinille.

Liian vähän ratkaisuja

Yhtälöstä ilmoitetaan vain arcus-funktion palauttama arvo.

Oikein: Lisää jaksollisuustermi: tai .

Usein kysyttyä

Miksi arcus sinin arvoalue rajataan?

Ilman rajausta käänteisfunktio ei olisi yksikäsitteinen. Väli sisältää kaikki sinin arvot kerran.

Miten ratkaisen yhtälön arcus-funktion avulla?

Laske ensin , jonka jälkeen lisää jakso: tai .

Voiko antaa kulman yli 90°?

Ei. Pääarvo on aina välillä . Muut ratkaisut saat lisäämällä .

Miten kirjoitan ilman trigonometriaa?

Käytä arvoalueella, jolla kosini on ei-negatiivinen.