Kaksoiskulmakaavat – sin(2α), cos(2α) ja tan(2α)
Kaksoiskulmakaavat kertovat, miten trigonometriset funktiot käyttäytyvät, kun kulma kaksinkertaistetaan. Niiden avulla lasket esimerkiksi ja sievennät yo-tehtävien trigonometriset yhtälöt.
Määritelmä
Kun kulma kaksinkertaistuu, sinin, kosinin ja tangentin arvot saadaan summakaavoista asettamalla . Näin syntyvät identiteetit: , ja .Kaavat
(kun )
,
Säännöt
Johda summakaavoista
Aseta summakaavoihin ja yksinkertaista.
Tarkista nimittäjä
on määritelty vain, kun .
Valitse sopiva muoto
Kosinin kaksoiskulma on helppo valita tilanteen mukaan: tai voidaan poistaa.
Esimerkit
Sinin kaksoiskulma
HelppoLaske kaksoiskulmakaavan avulla.
- Kirjoita kulma.
- Sovella kaavaa.
- Sijoita arvotSaat .
Puolikulmakaavan käyttö
KeskitasoLaske .
- Puolita tunnettu kulma.
- Käytä puolikulmakaavaa.
- Sijoita arvotSaat .
Yhtälön ratkaisu
KeskitasoRatkaise välillä .
- Korvaa kaksoiskulma.
- Jaa yhtälö.
- Ratkaise. .
Sovellukset
- Yo-tehtävien trigonometriset yhtälöt, joissa kulma esiintyy sekä että muodossa.
- Integraalilaskennassa sinin ja kosinin potenssit voidaan muuttaa kaksoiskulman avulla.
- Fysiikan värähtelymallit, joissa amplitudi ja taajuus kuvaavat signaalin yhdistymistä.
Yleisiä virheitä
Kaksoiskulman ja summakaavan sekoittaminen
Kirjoitetaan virheellisesti .
Oikein: Muista kertolasku: .
Kosinin muodon valinta väärin
Valitaan tilanteessa, jossa tarvitaan siniä.
Oikein: Valitse muoto sen mukaan, kumpi funktio pitäisi poistaa.
Tangentin nimittäjä unohtuu
Yhtälössä ilmaantuu nimittäjä, joka voi nollautua.
Oikein: Kirjoita ratkaisuun ehto ja käsittele rajatapaukset erikseen.
Usein kysyttyä
- Miten kaksoiskulma johdetaan summakaavasta?
- Aseta summakaavassa ja supista: .
- Milloin käytän puolikulmakaavaa?
- Kun tunnet mutta et tai . Puolikulmakaava antaa arvot puolikkaalle kulmalle.
- Miksi ei aina toimi?
- Jos , nimittäjä nollautuu. Käsittele nämä tapaukset erikseen.
- Voinko käyttää kaavoja radiaaneissa?
- Kyllä. Identiteetit pätevät kaikilla kulmayksiköillä.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA7 kaksoiskulmakaavat
Opetushallituksen kurssikuvaus kaksoiskulma- ja puolikulmakaavoista.
- Yo-tehtävät kaksoiskulmista
YTL:n arkisto tehtävistä, joissa kaksoiskulma ratkaisee yhtälön.