Trigonometristen funktioiden kuvaajat – sin, cos ja tan
Sinin, kosinin ja tangentin kuvaajien muodot kertovat jaksollisuuden, amplitudin ja vaihe-erot yhdellä silmäyksellä. Kun hallitset kuvaajat, tunnistat nopeasti yo-tehtävien funktioiden ominaisuudet.
Määritelmä
Perusmuodot: ja ovat sinikäyriä jaksolla , arvoalue . toistuu jaksolla ja sillä on pystysuorat asymptootit .Kaavat
: amplitude , jakso , vaihe , pystysiirto
: samat ominaisuudet kuin sinikäyrällä
: jakso , asymptootit
Säännöt
Merkitse peruspisteet
Sini: , , , .
Muista vaihe
siirtää kuvaajaa oikealle yksikköä.
Tulkitse asymptootit
Tangentin pystysuorat asymptootit kertovat, missä funktio ei ole määritelty.
Esimerkit
Perus-sini kuvattuna
HelppoPiirrä ja merkitse tärkeimmät pisteet.
- Valitse pisteetPisteet , , , , .
- Yhdistä sinikäyräksiPiirrä tasainen aalto, joka läpäisee pisteet.
- Jatka jaksollaKuvaaja toistuu välein.
Vaihesiirto
KeskitasoPiirrä .
- Tunnista perusmuotoalkaa maksimiarvosta 1 kohdassa .
- Siirrä oikealleVaihesiirto tarkoittaa, että maksimi on kohdassa .
- Merkitse pisteetMaksimi , nollat ja , minimi .
Tangentin asymptootit
KeskitasoPiirrä välillä .
- Merkitse asymptootitPystysuorat viivat ja .
- Lisää nollakohtaPiste .
- Piirrä monotoninen kasvuKuvaaja kulkee nollan kautta ja lähestyy asymptoottia kummastakin suunnasta.
Sovellukset
- Yo-tehtävissä kuvaajien tunnistaminen auttaa ratkaisemaan trigonometriset yhtälöt graafisesti.
- Fysiikassa sinikäyrä mallintaa värähtelyä ja vaihtojännitteen käyttäytymistä.
- Signaalinkäsittelyssä amplitudi ja vaihe saadaan suoraan kuvaajasta.
Yleisiä virheitä
Jakso tulkitaan väärin
Opiskelija käyttää myös tangentille.
Oikein: Tangentilla jakso on .
Asymptootit jäävät piirtämättä
Tangentin määrittelemättömät kohdat unohtuvat kuvasta.
Oikein: Piirrä aina pystysuorat viivat ennen kuvaajaa.
Vaihesiirto tulkitaan väärään suuntaan
piirretään oikealle siirrettyä, vaikka pitäisi siirtyä vasemmalle.
Oikein: Muista: oikealle, vasemmalle.
Usein kysyttyä
- Miten luen jaksollisuuden kuvaajasta?
- Etsi kaksi peräkkäistä pistettä, joissa kuvaaja toistaa saman arvon ja kulkee samaan suuntaan. Etäisyys on jakso.
- Mitä tapahtuu, jos kerroin on negatiivinen?
- Kuvaaja heijastuu -akselin suhteen ja amplitudi on .
- Miten erotan sinin ja kosinin kuvaajat?
- Sini kulkee origon kautta, kosini alkaa maksimiarvosta. Muuten ne ovat saman muotoisia.
- Voinko käyttää kuvaajia yhtälöiden ratkaisemiseen?
- Kyllä. Leikkauspisteet kertovat ratkaisut, mutta muista lisätä jaksolliset ratkaisut analyysin jälkeen.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA3 sinikäyrä
Kurssikuvaus, jossa sinin ja kosinin kuvaajat esitellään ensimmäistä kertaa.
- MAA7 trigonometriset kuvaajat
Syventävä kurssimateriaali kuvaajien muokkauksesta ja sovelluksista.
- Yo-tehtävät kuvaajista
YTL:n tehtäväpankki, jossa tunnistetaan funktiot kuvaajasta.