Trigonometristen funktioiden ominaisuudet – jaksot, symmetria ja arvot
Trigonometriset funktiot erottuvat jaksollisuudellaan, symmetriallaan ja arvoalueillaan. Näiden ominaisuuksien hallinta helpottaa graafista analyysiä ja yhtälöiden ratkaisua yo-kokeissa.
Määritelmä
Sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita jaksolla ja arvoalueella . Tangentti toistuu jaksolla ja saa kaikki reaaliset arvot, mutta sitä ei ole määritelty, kun .Kaavat
,
, ,
Säännöt
Jakso laskettuna kertoimesta
jakso = , jakso = .
Parillisuus ja parittomuus
ja ovat parittomia, parillinen.
Arvo- ja määrittelyalue
, määritelty kaikilla . : , määritelty kun .
Esimerkit
Muokattu sini
HelppoMääritä funktion jakso ja arvoalue.
- Laske jakso.
- Skaalaa arvoaluesaa arvot .
- Kirjoita vastausJakso , arvoalue .
Tangentin määrittelyjoukko
KeskitasoMissä ei ole määritelty?
- Aseta kosini nollaksi.
- Ratkaise x.
- Kirjoita määrittelyjoukko.
Parittomuuden tarkistus
KeskitasoTutki, onko parillinen tai pariton.
- Laske .
- VertaaEi sama kuin eikä .
- JohtopäätösFunktio ei ole parillinen eikä pariton vaihesiirron vuoksi.
Sovellukset
- Yo-tehtävien symmetria-analyysi ja funktion tyyppien tunnistaminen.
- Fysiikan värähtelymallit, joissa amplitudi, vaihe ja jakso kertovat liikkeen ominaisuudet.
- Sähkötekniikan siniaaltoiset signaalit.
Yleisiä virheitä
Jakso sekoitetaan kahdentumiseen
:n jakso oletetaan 2.
Oikein: Muista jakaa: jakso on .
Arvoalueen siirto unohtuu
Kun lisätään vakio, arvoalue jää päivittämättä.
Oikein: Lisää vakio kaikkiin arvoalueen reunoihin.
Tangentin nollakohtia ei tunnisteta
Unohdetaan, että kun .
Oikein: Kirjoita aina nollat muodossa ja asymptootit .
Usein kysyttyä
- Miten lasken jakson?
- Jakso pienenee kertoimen verran: uusi jakso on .
- Miksi kosini on parillinen?
- Kosini kuvaa x-koordinaattia yksikköympyrässä, joka on symmetrinen y-akselin suhteen.
- Mitä tapahtuu arvoalueelle, kun lisään vakion?
- Koko arvoalue siirtyy vakion verran: esimerkiksi -funktion tapauksessa.
- Milloin trigonometrinen funktio ei ole määritelty?
- Tangentti ja kotangentti eivät ole määritelty, kun jakaja on nolla. Sini ja kosini ovat määritelty kaikilla reaaliluvuilla.
Lähteet ja lisämateriaali
- MAA3 trigonometria – perusominaisuudet
LOPS21-materiaali sinin ja kosinin jaksoista ja symmetrioista.
- MAA7 trigonometriset funktiot
Syventävä kurssi, jossa tutkitaan myös amplitudi- ja vaihemodifikaatiot.
- Yo-tehtävät: ominaisuudet
Ylioppilastutkintolautakunnan tehtäväpankki trigonometristen funktioiden ominaisuuksista.